◄ PAGMO 2023

Un entero $n\geq 2$ se dice que es tuanis si al sumar el menor divisor primo de $n$ y el mayor divisor primo de $n$ (estos divisores pueden ser iguales) se obtiene un resultado impar. Calcular la suma de todos los números tuanis menores o iguales que $2023.$

En cada casilla de una cuadrícula $n \times n$ se debe escribir alguno de los números $0, 1,$ o $2$. Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe una forma de llenar la cuadrícula $n \times n$ tal que al calcular la suma de los números en cada fila y en cada columna se obtienen los números $1, 2, \dots 2n$, en algún orden.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D, E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A, B$ y $C,$ respectivamente. La recta $EF$ y el circuncírculo de $ABC$ se intersecan en $P$, de forma que $F$ está entre $E$ y $P$. Las rectas $BP$ y $DF$ se intersecan en $Q$. Demostrar que si $ED=EP,$ entonces $CQ$ y $DP$ son paralelas.

En un triángulo acutángulo $ABC$, $D$ es un punto sobre el segmento $BC$. Sean $R$ y $S$ los pies de las perpendiculares desde $D$ hasta $AC$ y $AB$, respectivamente. La recta $DR$ y el circuncírculo $BDS$ se intersecan en $X$, con $X \neq D$. Análogamente, la recta $DS$ y el circuncírculo de $CDR$ se intersecan en $Y$, con $Y \neq D$. Demostrar que si $XY$ es paralelo a $RS$, entonces $D$ es el punto medio de $BC.$

Determinar todas las parejas de números primos $(p, q)$ tales que $6pq$ divide a $p^3 + q^2 + 38.$

Sea $n \geq 2$ un entero. Lucía escoge $n$ números reales $x_1, x_2, \dots, x_n$ tales que $|x_i - x_j|\geq 1$ para todo $i \neq j.$ Luego, en cada una de las casillas de una cuadrícula $n\times n$ ella escribe alguno de estos números, de modo que no se repite ningún número en una misma fila o una misma columna. Finalmente, para cada casilla, ella calcula el valor absoluto de la diferencia del número en la casilla y el número en la primera casilla de su misma fula. Determinar el menor valor que puede tomar la suma de los $n^2$ números que Lucía clculó.