PAGMO 2021 ►

Disponemos de $n \geq 2$ fichas numeradas del $1$ al $n$. Se colocan, no necesariamente en orden, formando un círculo. Empezamos en la ficha con el número $1$. En cada turno, si estamos en la ficha con el número $i$, saltamos a la que está $i$ lugares más adelante, siempre en el sentido de las agujas del reloj. Determine todos los valores de $n$ tales que es posible ordenar las fichas de manera que visitamos todas ellas.

Considere el triángulo rectángulo isósceles $ABC$ con $\angle BAC = 90^{\circ}$. Sea $\ell$ la recta que pasa por $B$ y el punto medio del lado $AC$. Sea $\Gamma$ la circunferencia con diámetro $AB$. La recta $\ell$ y la circunferencia $\Gamma$ se intersectan en el punto $P$, diferente de $B$. Muestre que la circunferencia que pasa por los puntos $A$, $C$ y $P$ es tangente a la recta $BC$ en $C$.

Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que la igualdad \[f(x+yf(x+y))+xf(x)=f(xf(x+y+1))+y^2\] es verdadera para cualesquiera números reales $x,y$.

Lucía multiplica varios números positivos de una cifra (posiblemente repetidos) y obtiene un entero $n$ mayor que $10$. Luego multiplica todas las cifras de $n$ y obtiene un número impar. Determine todos los posibles valores de las cifras de las unidades de $n$.

Celeste tiene un número ilimitado de dulces de cada uno de $n$ tipos distintos, etiquetados tipo $1$, tipo $2$,$\dots$, tipo $n$. Inicialmente ella toma $m\gt 0$ dulces y los pone en fila sobre una mesa. Después escige repetidamente una de las siguientes operaciones y la ejecuta (puede que no tenga siempre ambas opciones).

1. Ella se come un dulce de tipo $k$ y pone en su lugar dos dulces: uno de tipo $k-1$ seguido por uno de tipo $k+1$. Consideramos el tipo $n+1$ como tipo $1$, y el tipo $0$ como tipo $n$.
2. Ella escoge dos dulces del mismo tipo que sean adyacentes y se los come

Determinar todos los enteros positivos $n$ para los que Celeste puede dejar la mesa vacía después de realizar un número finito de las operaciones anteriores, para todo valor de $m$ y toda configuración de dulces en la mesa.

Sea $ABC$ un triágulo con incentro $I$ y sea $\Gamma$ el excírculo opuesto al vértice $A$. Suponga que $\Gamma$ es tangente a las rectas $BC$, $AC$, y $AB$ en los puntos $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Suponga que las rectas $IA_1$, $IB_1$ e $IC_1$ intersectan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $A_2$, $B_2$ y $C_2$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio del segmento $AA_1$. Si las rectas $A_1B_1$ y $A_2B_2$ se intersectan en $X$ y las rectas $A_1C_1$ y $A_2C_2$ se intersectan en $Y$, demuestre que $MX=MY$.