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Sea $n$ un entero positivo. Considera un tablero en forma de triángulo equilátero, con lados de longitud $n$, dividido en triángulos equiláteros de lado $1$. Algunos de los $1+2+\dots+(n+1)$ vértices de los triangulitos equiláteros en los que se divide el tablero se han marcado. Se cumple que para todo entero $k\geq 1$, ningún trapecio con lados cuyas longitudes son $1$, $k$, $1$, $k+1$ y con vértices en el tablero tiene todos sus vértices marcados. Además, ningún triángulo equilátero de lado $1$ tiene sus tres vértices marcados. ¿Cuál es la mayor cantidad de vértices que se pudieron haber marcado?