◄ OMM 2022

Un número $x$ es Tlahiuca si existen primos positivos distintos $p_1,p_2,\dots,p_k$ tales que \[x=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\cdots+\frac{1}{p_k}.\] Deterimina el mayor número Tlahuica $x$ que satisface las dos siguientes propiedades:

• $0\lt x\lt 1$.
• Existe un número entero $0\lt m\leq 2022$ tal que $mx$ es un número entero.

Sea $n$ un entero positivo. David tiene $6$ tableros de ajedrez de $n\times n$ que ha dispuesto de manera que formen las $6$ cara de un cubo de $n\times n\times n$. Se dice que dos casillas $a$ y $b$ están alineadas si están en una misma fila o columna en un tablero o continuan así por los tableros adyacentes. David coloca algunas torres en el tablero de forma que no se ataquen entre sí. Dos torres se atacan entre sí si están en casillas alineadas. ¿Cuál es la máxima cantidad de torres que David puede colocar?

Sea $n>1$ un entero y sean $d_1\lt d_2\lt \dots\lt d_m$ la lista completa de sus divisores positivos, incluyendo $1$ y $n$. Los $m$ instrumentos de una orquesta matemática se disponen a tocar una pieza musical de $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocará una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos), donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Decidimos que esta pieza tiene sonoridad $S=s_1+\dots+s_m$. Un par de notas de tonos $a$ y $b$ son armónicas si $\frac ab$ o $\frac ba$ es un entero. Si cada instrumento toca al menos un segundo y cada par de notas que suenan al mismo tiempo son armónicas, demuestra que la máxima sonoridad posible de la pieza es un número compuesto.

Sea $n$ un entero positivo. En un jardín de $n\times n$ cuyos lados dan al Norte, Sur, Este y Oeste, se va a construir una fuente usando plataformas de $1\times 1$ que cubran todo el jardín. Ana colocará las plataformas todas a diferentes alturas. Después, Beto pondrá salidas de agua en algunas de las plataformas. El agua de cada plataforma puede bajar a las plataformas contiguas (hacia el Norte, Sur, Este y Oeste) que tengan menor altura que la plataforma de donde viene el agua, siguiendo su flujo siempre que pueda dirigirse a plataformas de menor altura. El objetivo de Beto es que el agua llegue a todas las plataformas. ¿Cuál es el menor número de salidas de agua que Beto necesita tener disponibles a fin de garantizar que podrá lograr su objetivo, sin importar cómo Ana haya acomodado las plataformas?

Sea $n>1$ un entero positivo y sean $d_1\lt d_2\lt \dots\lt d_m$ sus $m$ divisores positivos de manera que $d_1=1$ y $d_m=n$. Lalo escribe los siguientes $2m$ números en un pizarrón: \[d_1,d_2,\dots,d_m,d_1+d_2,d_2+d_3,\dots,d_{m-1}+d_m,N\] donde $N$ es un entero positivo. Después Lalo borra los números repetidos (por ejemplo, si un número aparece dos veces, él borrará uno de los dos). Después de esto, Lalo nota que los números en el pizarrón son precisamente la lista completa de divisores positivos de $N$. Encuentra todos los posibles valores del entero positivo $n$.

Encuentra todos los enteros $n\geq 3$ tales que existe un polígono convexto de $n$ lados $A_1A_2\dots A_n$ que tenga las siguientes características:

• Todos los ángulos internos de $A_1A_2\dots A_n$ son iguales.
• No todos los lados de $A_1A_2\dots A_n$ son iguales.
• Existe un triángulo $T$ y un punto $O$ en el interior de $A_1A_2\dots A_n$ tal que los $n$ triángulos $OA_1A_2, OA_2A_3,\dots OA_nA_1$ son todos semejantes a $T$.