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Un número entero $m\geq 1$ es mexica si es de la forma $n^{d(n)}$, donde $n$ es un entero positivo y $d(n)$ es el número de enteros positivos que dividen a $n$. Encuentra todos los números de mexica menores que $2019$.

Sea $H$ el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $AH$. La recta $BH$ corta a $AC$ en $D$. Se considera un punto $E$ tal que $BC$ es la mediatriz de $DE$. Los segmentos $CM$ y $AE$ se cruzan en $F$. Muestra que $BF$ es perpendicular a $CM$.

Sea $n\geq 2$ un número entero. Considera $2n$ puntos alrededor de un círculo. Cada vértice se ha marcado con un número entero desde $1$ hasta $n$, inclusive, y cada uno de estos enteros se ha utilizado exactamente dos veces. Isabel divide los puntos en $n$ pares, y dibuja los segmentos que los unen, con la condición de que estos segmentos no se crucen. A continuación, asigna a cada segmento el mayor número entero entre sus puntos extremos. Muestra que, independientemente de cómo se hayan marcado los puntos, Isabel siempre puede elegir los pares de forma que utilice exactamente $\lceil n/2\rceil$ números para marcar los segmentos. ¿Se pueden etiquetar los puntos de tal manera que, independientemente de cómo Isabel divida los puntos en pares, siempre utilice exactamente $\lceil n/2\rceil$ números para etiquetar los segmentos? Nota: Para cada número real $x$, $\lceil x\rceil$ denota el menor número entero mayor o igual que $x$. Por ejemplo, $\lceil 3,6\rceil=4$ y $\lceil 2\rceil=2$.

Una lista de enteros positivos se llama buena si el elemento máximo de la lista aparece exactamente una vez. Una sublista es una lista formada por uno o más elementos consecutivos de una lista. Por ejemplo, la lista $10,34,34,22,30,22$ la sublista $22,30,22$ es buena y $10,34,34,22$ no lo es. Una lista es muy buena si todas sus sublistas son buenas. Encontrar el valor mínimo de $k$ tal que exista una lista muy buena de longitud $2019$ con $k$ valores diferentes en ella.

Sean $a > b$ enteros positivos relativamente primos. Un saltamontes se sitúa en el punto $0$ de una recta numérica. Cada minuto, el saltamontes salta de acuerdo con las siguientes reglas: Si el minuto actual es un múltiplo de $a$ y no un múltiplo de $b$, salta $a$ unidades hacia adelante. Si el minuto actual es un múltiplo de $b$ y no un múltiplo de $a$, salta $b$ unidades hacia atrás. Si el minuto actual es tanto un múltiplo de $b$ como un múltiplo de $a$, salta $a - b$ unidades hacia adelante. Si el minuto actual no es ni un múltiplo de $a$ ni un múltiplo de $b$, no se mueve. Encuentra todas las posiciones de la recta numérica que el saltamontes acabará alcanzando.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BAC = 45^{\circ}$. Sean $H,O$ el ortocentro y el circuncentro de $ABC$, respectivamente. Sea $\omega$ la circunferencia de $ABC$ y $P$ el punto sobre $\omega$ tal que la circunferencia de $PBH$ es tangente a $BC$. Sean $X$ y $Y$ los circuncentros de $PHB$ y $PHC$ respectivamente. Sean $O_1,O_2$ los circuncentros de $PXO$ y $PYO$ respectivamente. Muestra que $O_1$ y $O_2$ están en $AB$ y $AC$, respectivamente.