◄ OMM 2017 ►

En un tablero de ajedrez de $2017 \times 2017$, se han colocado en la primera columna $2017$ caballos de ajedrez, uno en cada casilla de la columna. Una tirada consiste en elegir dos caballos distintos y de manera simulátnea moverlos como se mueven los caballos de ajedrez. Encuentra todos los posibles valores enteros de $k$ con $1 \leq k \leq 2017$, para los cuales es posible llegar a través de varias tiradas, a que todos los caballos están en la columna $k$, uno en cada casilla. Nota. Un caballo se mueve de una casilla $X$ a otra $Y$, solamente si $X$ y $Y$ son las esquinas opuestas de un rectángulo de $3 \times 2$ o de $2 \times 3$.

Un conjunto de $n$ números enteros positivos distintos es equilibrado, si el promedio de cualesquiera $k$ números del conjunto es un número entero, para toda $1 \leq k \leq n$. Encuentra la mayor suma que pueden tener los elementos de un conjunto equilibrado, con todos sus elementos menores o iguales que $2017$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyo ortocentro es el punto $H$. La circunferencia que pasa por los puntos $B$, $H$ y $C$ vuelve a intersectar a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $HB$ y $HC$ con el segmento $DE$, respectivamente. Se consideran los puntos $X$ e $Y$ (distintos de $A$) que están sobre las recta $AP$ y $AQ$, respectivamente, de manera que los puntos $X$, $A$, $H$ y $B$ están sobre un círculo y los puntos $Y$, $A$, $H$ y $C$ están sobre un círculo. Muestra que las rectas $XY$ y $BC$ son paralelas.

Un subconjunto $B$ de $\{1, 2, \dots, 2017\}$, tiene la propiedad $T$ si cada tres números de $B$ son las longitudes de los lados de un triángulo (de área positiva). Determina la mayor cantidad de números que puede tener un conjunto $B$ que tenga la propiedad $T$.

Sobre una circunferencia $\Gamma$ se encuentran los puntos $A, B, N , C, D$ y $M$ colocados en el sentido de las manecillas del reloj de manera que $M$ y $N$ son los puntos medios de los arcos $DA$ y $BC$ (recorridos en el sentido de las manecillas del reloj). Sea $P$ la intersección de los segmentos $AC$ y $BD$; y sea $Q$ un punto sobre $MB$ de manera que las rectas $PQ$ y $MN$ son perpendiculares. Sobre el segmento $MC$ se considera un punto $R$ de manera que $QB = RC$. Muestra que $AC$ pasa por el punto medio del segmento $QR$.

Sean $n \geq 2$ y $m \geq 2$ enteros positivos. Se tienen $m$ urnas dispuestas en fila. Los jugadores $A$ y $B$ juegan por turnos, comenzando por $A$, de la siguiente manera. En cada turno, $A$ elige dos urnas y coloca un voto en cada una de ellas. Posteriormente, $B$ elige una urna, y elimina todos los votos de esa. $A$ gana si logra que haya una urna con $n$ votos después de algún turno de $B$. Determina para cada $n$ el mínimo valor de $m$ para el cual $A$ puede garantizar ganar, sin importar los movimientos que haga $B$.