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Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias tangentes externamente en $S$ tales que el radio de $\mathcal{C}_2$ es el triple del radio de $\mathcal{C}_1$. Sea $\ell$ una recta que es tangente a $\mathcal{C}_1$ en $P$ y tangente a $\mathcal{C}_2$ en $Q$, con $P$ y $Q$ distintos de $S$. Sea $T$ el punto en $\mathcal{C}_2$ tal que $TQ$ es diámetro de $\mathcal{C}_2$ y sea $R$ la intersección de la bisectriz de $\angle SQT$ con el segmento $ST$ . Demuestra que $QR = RT$.

Una pareja de enteros positivos $m, n$ es "guerrera" si existen enteros positivos $a, b, c, d$ con $m = ab, n = cd$ y $a + b = c + d$. Por ejemplo, la pareja $8, 9$ es guerrera pues $8 = 4 \cdot 2$, $9 = 3 \cdot 3$ y $4 + 2 = 3 + 3$. Se colorean los enteros positivos de la siguiente manera: Empezamos coloreando el $3$ y el $5$. Después, si algún entero positivo no está coloreado y este tiene una pareja guerrera que ya está coloreado, entonces lo coloreamos. Encuentra todos los enteros positivos que eventualmente se colorean.

Encuentra el menor número real $x$ que cumpla todas las siguientes desigualdades: \[\lfloor x \rfloor < \lfloor x^2 \rfloor < \lfloor x^3 \rfloor < \dots \lfloor x^n \rfloor < \lfloor x^{n+1} \rfloor < \dots\] Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor número entero menor o igual a $x$, es decir, es el único entero que cumple que $\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1$.

Decimos que un número entero no-negativo $n$ “contiene” a otro número entero no-negativo $m$, si los dígitos de su expansión (o desarrollo) decimal aparecen en forma consecutiva en la expansión (o desarrollo) decimal de $n$. Por ejemplo, $2016$ contiene a $2,0,1,6, 20, 16, 201$ y $2016$. Determina el mayor número entero $n$ que no contiene a ningún múltiplo de $7$.

En una cuadrícula de $n \times n$ se escriben los números del $1$ al $n^2$ en orden, por renglones, de manera que en el primer renglón aparecen los números del $1$ al $n$, en el segundo los números de $n + 1$ a $2n$, y así sucesivamente. Una operación permitida en la cuadrícula consiste en escoger cualesquiera dos cuadraditos que compartan un lado y sumar (o restar) el mismo número entero a los dos números que aparecen en esos cuadraditos. Por ejemplo, abajo se muestran dos operaciones sucesivas permitidas en una cuadrícula de $4 \times 4$: primero restando $7$ a los cuadraditos sombreados y luego sumando $5$ a los sombreados. Determina para qué valores de $n$ es posible lograr que todos los cuadraditos tengan escrito el número $0$ después de repetir la operación tantas veces como sea necesario y, en los casos en que sea posible, determina el mínimo número de operaciones necesarias.

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Sean $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, $\ell_1$ la recta paralela a $BC$ que pasa por $A$ y $\ell_2$ la recta paralela a $AD$ que pasa por $B$. La recta $DC$ corta a $\ell_1$ y $\ell_2$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. La recta perpendicular a $\ell_1$ que pasa por $A$ corta a $BC$ en $P$ y la recta perpendicular a $\ell_2$ por $B$ corta a $AD$ en $Q$. Sean $\Gamma_2$ y $\Gamma_1$ las circunferencias que pasan por los vértices de los triángulos $ADE$ y $BFC$, respectivamente. Demuestra que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ son tangentes si y sólo si $DP$ es perpendicular a $CQ$.