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Cada uno de los números del $1$ al $4027$ se ha coloreado de verde o de rojo. Cambiar el color de un número es pasarlo a verde si era rojo, y pasarlo a rojo si era verde. Diremos que dos enteros positivos $m$ y $n$ son "cuates" si alguno de los números $\frac mn$ o $\frac nm$ es un número primo. Un paso consiste en elegir dos números que sean cuates y cambiar el color de cada uno de los números. Muestra que después de realizar algunos pasos es posible hacer que todos los números del $1$ al $2014$ sean verdes.

Un entero positivo $a$ "se reduce" a un entero positivo $b$, si al dividir a entre su dígito de las unidades se obtiene $b$. Por ejemplo, $2015$ se reduce a $\frac{2015}{5}=403$. Encuentra todos los enteros positivos que, mediante algunas reducciones, llegan al número $1$. Por ejemplo, el número $12$ es uno de tales enteros pues $12$ se reduce a $6$ y $6$ se reduce a $1$.

Sean $\Gamma_1$ una circunferencia y $P$ un punto fuera de $\Gamma_1$. Las tangentes desde $P$ a $\Gamma_1$ tocan a la circunferencia en los puntos $A$ y $B$. Considera $M$ el punto medio del segmento $PA$ y $\Gamma_2$ la circunferencia que pasa por los puntos $P$, $A$ y $B$. La recta $BM$ intersecta de nuevo a $\Gamma_2$ en el punto $C$, la recta $CA$ intersecta de nuevo a $\Gamma_1$ en el punto $D$, el segmento DB intersecta de nuevo a $\Gamma_2$ en el punto $E$ y la recta $PE$ intersecta a $\Gamma_1$ en el punto $F$ (con $E$ entre $P$ y $F$). Muestra que las rectas $AF$, $BP$ y $CE$ concurren.

Sea $ABCD$ un rectángulo con diagonales $AC$ y $BD$. Sean $E$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle CAD$ con el segmento $CD$, $F$ el punto sobre el segmento $CD$ tal que $E$ es el punto medio de $DF$ y $G$ el punto sobre la recta $BC$ tal que $BG = AC$ (con $C$ entre $B$ y $G$). Muestra que la circunferencia que pasa por $D, F y G$ es tangente $BG$.

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a + b + c = 3$. Muestra que \[ \frac{a^2}{a + \sqrt[3]{bc}} + \frac{b^2}{b + \sqrt[3]{ca}} + \frac{c^2}{c + \sqrt[3]{ab}} \geq \frac{3}{2} \] y determina para qué números $a$, $b$ y $c$ se alcanza la igualdad.

Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Por ejemplo, los divisores positivos de $6$ son $1$, $2$, $3$ y $6$, por lo que $d(6) = 4$. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que \[n + d(n) = d(n)^2.\]