◄ OMM 2013 ►
Presiona el título de cualquier problema para ver su página individual.
• Regresar a OMM• Regresar a la página de inicio
Problema 1
Se escriben los números primos en orden,
Encuentra todas las parejas de números enteros positivos y con , tales que
divide al número entero .
Problema 2
Sea un paralelogramo con ángulo obtuso en . Sea un punto sobre el segmento de manera que la circunferencia con centro en y que pasa por , corte a la recta en y , y corte a la recta en y . La recta intersecta a en y a en , respectivamente. Muestra que .
Problema 3
¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puedes tomar del conjunto de números enteros , de tal manera que entre ellos no haya tres distintos, digamos , , , tales que sea divisor o múltiplo de ?
Problema 4
Un cubo de está construido con cubitos de , algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de , de y de hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente ) de cubitos blancos intermedios. Por ejemplo, en la ilustración, se muestra una posible rebanada del cubo de (formada por subprismas de ). Muestra que es posible sustituir la mitad de los cubitos negros por cubitos blancos para que en cada subprisma de , de y de haya exactamente un cubito negro.
Problema 5
Una pareja de enteros es especial si es de la forma o de la forma con un entero positivo. Muestra que una pareja de enteros positivos que no es especial, se puede representar como suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros y satisfacen la desigualdad .
Problema 6
Sea un octágono convexo, es decir, un octágono donde todos sus ángulos internos son menores que . Además los lados del octágono tienen la misma longitud y cada par de lados opuestos son paralelos. Para cada , definamos el punto como la intersección del segmento con el segmento , donde y , para todo número entero . Muestra que para algún número , de entre los números y , se cumple que