"La práctica es solo el proceso de mejorar la intuición." - Pablito

OMM 2013

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Problema 1

Se escriben los números primos en orden, p1=2,p2=3,p3=5, Encuentra todas las parejas de números enteros positivos a y b con ab2, tales que papb divide al número entero 2(ab).

Problema 2

Sea ABCD un paralelogramo con ángulo obtuso en A. Sea P un punto sobre el segmento BD de manera que la circunferencia con centro en P y que pasa por A, corte a la recta AD en A y Y, y corte a la recta AB en A y X. La recta AP intersecta a BC en Q y a CD en R, respectivamente. Muestra que XPY=XQY+XRY.

Problema 3

¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puedes tomar del conjunto de números enteros {1,2,,2013}, de tal manera que entre ellos no haya tres distintos, digamos a, b, c, tales que a sea divisor o múltiplo de bc?

Problema 4

Un cubo de n×n×n está construido con cubitos de 1×1×1, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de n×1×1, de 1×n×1 y de 1×1×n hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente 0) de cubitos blancos intermedios. Por ejemplo, en la ilustración, se muestra una posible rebanada del cubo de 6×6×6 (formada por 6 subprismas de 1×6×1). Muestra que es posible sustituir la mitad de los cubitos negros por cubitos blancos para que en cada subprisma de n×1×1, de 1×n×1 y de 1×1×n haya exactamente un cubito negro.

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Problema 5

Una pareja de enteros es especial si es de la forma (n,n1) o de la forma (n1,n) con n un entero positivo. Muestra que una pareja (n,m) de enteros positivos que no es especial, se puede representar como suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros n y m satisfacen la desigualdad n+m(nm)2.

Problema 6

Sea A1A2A8 un octágono convexo, es decir, un octágono donde todos sus ángulos internos son menores que 180. Además los lados del octágono tienen la misma longitud y cada par de lados opuestos son paralelos. Para cada i=1,,8, definamos el punto Bi como la intersección del segmento AiAi+4 con el segmento Ai1Ai+1, donde Aj+8=Aj y Bj+8=Bj , para todo número entero j. Muestra que para algún número i, de entre los números 1,2,3 y 4, se cumple que AiAi+4BiBi+432