Se escriben los números primos en orden, $p_1=2,p_2=3,p_3=5,\dots$ Encuentra todas las parejas de números enteros positivos $a$ y $b$ con $a-b\ge 2$, tales que $p_a-p_b$ divide al número entero $2(a-b)$.

Sea $ABCD$ un paralelogramo con ángulo obtuso en $A$. Sea $P$ un punto sobre el segmento $BD$ de manera que la circunferencia con centro en $P$ y que pasa por $A$, corte a la recta $AD$ en $A$ y $Y$, y corte a la recta $AB$ en $A$ y $X$. La recta $AP$ intersecta a $BC$ en $Q$ y a $CD$ en $R$, respectivamente. Muestra que $\mathrm{\angle }XPY=\mathrm{\angle }XQY+\mathrm{\angle }XRY$.

¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puedes tomar del conjunto de números enteros $\{1,2,\dots ,2013\}$, de tal manera que entre ellos no haya tres distintos, digamos $a$, $b$, $c$, tales que $a$ sea divisor o múltiplo de $b-c$?

Un cubo de $n\times n\times n$ está construido con cubitos de $1\times 1\times 1$, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de $n\times 1\times 1$, de $1\times n\times 1$ y de $1\times 1\times n$ hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente $0$) de cubitos blancos intermedios. Por ejemplo, en la ilustración, se muestra una posible rebanada del cubo de $6\times 6\times 6$ (formada por $6$ subprismas de $1\times 6\times 1$). Muestra que es posible sustituir la mitad de los cubitos negros por cubitos blancos para que en cada subprisma de $n\times 1\times 1$, de $1\times n\times 1$ y de $1\times 1\times n$ haya exactamente un cubito negro.

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Una pareja de enteros es especial si es de la forma $(n,n-1)$ o de la forma $(n-1,n)$ con $n$ un entero positivo. Muestra que una pareja $(n,m)$ de enteros positivos que no es especial, se puede representar como suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros $n$ y $m$ satisfacen la desigualdad $n+m\ge (n-m{)}^2$.

Sea $A_1{A}_2\dots A_8$ un octágono convexo, es decir, un octágono donde todos sus ángulos internos son menores que ${180}^{\circ }$. Además los lados del octágono tienen la misma longitud y cada par de lados opuestos son paralelos. Para cada $i=1,\dots ,8$, definamos el punto $B_i$ como la intersección del segmento $A_i{A}_{i+4}$ con el segmento $A_{i-1}{A}_{i+1}$, donde $A_{j+8}=A_j$ y $B_{j+8}=B_j$ , para todo número entero $j$. Muestra que para algún número $i$, de entre los números $1,2,3$ y $4$, se cumple que $$\frac{A_i{A}_{i+4}}{B_i{B}_{i+4}}\le \frac{3}{2}$$