◄ OMM 2012 ►

Sean $\mathcal{C}_1$ una circunferencia con centro $O$, $P$ un punto sobre ella y $\ell$ la recta tangente a $\mathcal{C}_1$ en $P$. Considera un punto $Q$ sobre $\ell$, distinto de $P$, y sea $\mathcal{C}_2$ la circunferencia que pasa por $O$, $P$ y $Q$. El segmento $OQ$ intersecta a $\mathcal{C}_1$ en $S$ y la recta $PS$ intersecta a $\mathcal{C}_2$ en un punto $R$ distinto de $P$. Si $r_1$ y $r_2$ son las longitudes de los radios de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, respectivamente, muestra que \[\frac{PS}{SR}=\frac{r_1}{r_2}.\]

Sea $n \geq 4$ un número par. Considera una cuadrícula de $n \times n$. Dos celdas (cuadritos de $1 \times 1$) son vecinas si comparten un lado, si están en extremos opuestos de un mismo renglón o si están en extremos opuestos de una misma columna. De esta forma, toda celda en la cuadrícula tiene exactamente cuatro celdas vecinas. En cada celda está escrito un número del $1$ al $4$ de acuerdo con las siguientes reglas: Si en una celda está escrito un $2$ entonces en dos o más celdas vecinas está escrito un $1$. Si en una celda está escrito un $3$ entonces en tres o más celdas vecinas está escrito un $1$. Si en una celda está escrito un $4$ entonces en las cuatro celdas vecinas está escrito un $1$. Entre los acomodos que cumplan las condiciones anteriores, ¿cual el máximo número que se puede obtener sumando los números escritos en todas las celdas?

Muestra que entre cualesquiera $14$ números enteros consecutivos siempre hay $6$ números tales que cualesquiera dos de ellos son primos relativos.

A cada entero positivo se le aplica el siguiente proceso: al número se le resta la suma de sus dígitos, y el resultado se divide entre $9$. Por ejemplo, el proceso aplicado al $938$ es $102$, ya que $\frac{938-(9+3+8)}{9}=102$. Aplicado dos veces el proceso a $938$ se llega a $11$, aplicado tres veces se llega a $1$, y aplicado cuatro veces se llega al $0$. Cuando a un entero positivo $n$ se le aplica el proceso una o varias veces, se termina en $0$. Al número al que se llega antes de llegar al cero, lo llamamos la casa de $n$. ¿ Cuántos números menores que $26000$ tienen la misma casa que el $2012$?

Algunas ranas, unas de ellas rojas y otras verdes, se van a mover en un tablero de $11 \times 11$, de acuerdo a las siguientes reglas. Si una rana está ubicada, digamos, en la casilla marcada con $\#$ en la siguiente figura, entonces si es roja, puede saltar a cualquiera de las casillas marcadas con $\times$. Si es verde, puede saltar a cualquiera de las casillas marcadas con $\circ$. Diremos que dos ranas (de cualquier color) se pueden encontrar en una casilla si ambas pueden llegar hasta ella saltando una o más veces, no necesariamente con el mismo número de saltos. (a) Muestra que si ponemos $6$ ranas (de cualquier color), entonces hay al menos $2$ que se pueden encontrar. (b) ¿Para qué valores de $k$ es posible poner una rana roja y una rana verde de manera que haya exactamente $k$ casillas en las que estas ranas se pueden encontrar?

Descargar Imagen

Considera un triángulo acutángulo $ABC$ con circuncírculo $\Omega$. Sean $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $BC$. Las rectas $AH$, $BH$ y $CH$ cortan por segunda vez a $\Omega$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente; y la recta $MH$ corta a $\Omega$ en $J$ de manera que $H$ queda entre $M$ y $J$. Sean $K$ y $L$ los incentros de los triángulos $DEJ$ y $DFJ$, respectivamente. Muestra que $KL$ es paralela a $BC$.