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Se tienen 25 focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros 24 se disponen en una circunferencia colocando un foco en cada uno de los vértices de un 24-ágono regular, y el foco restante se coloca en el centro de dicha circunferencia. Se permite aplicar cualquiera de las siguientes dos operaciones: 1) Tomar dos vértices sobre la circunferencia tales que hay una cantidad impar de vértices en los arcos que definen, y cambiar el estado de los focos de estos dos vértices, así como del foco del centro. 2)Tomar tres vértices sobre la circunferencia que formen un triángulo equilátero, y cambiar el estado de los focos en estos tres vértices, así como del foco del centro. Muestra que partiendo de cualquier configuración inicial de focos encendidos y apagados, siempre es posible llegar a una configuración en la que todos los focos están encendidos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con vértices sobre una circunferencia $\Gamma$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\Gamma$ en $A$. Sean $D$ y $E$ los puntos de intersección de la recta $\ell$ y del segmento $AC$ con la circunferencia de centro $B$ y radio $BA$, respectivamente. Muestra que $DE$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

Sea $n$ un entero positivo. Encuentra todas las soluciones $(a_1, a_2,\dots , a_n)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de $n$ ecuaciones: \[a_1^2 + a_1 - 1 = a_2\] \[ a_2^2 + a_2 - 1 = a_3\] \[\vdots \] \[a_{n}^2 + a_n - 1 = a_1.\]

Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre los números del 1 al 9. Nota: un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el 1121211222.

Considera un tablero de $(2^n - 1) \times (2^n + 1)$ casillas que se quiere dividir en rectángulos de tal forma que los lados de los rectángulos sean paralelos a los lados del tablero, de tal forma que el área (cantidad de casillas) de cada rectángulo sea una potencia de $2$. Encuentra la menor cantidad de rectángulos en las que se puede dividir el tablero.

Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias que se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideremos un punto $C$ sobre la recta $AB$ de modo que $B$ queda entre $A$ y $C$. Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, respectivamente, tales que que $CP$ es tangente a $\mathcal{C}_1$, $CQ$ es tangente a $\mathcal{C}_2$, $P$ no está dentro de $\mathcal{C}_2$ y $Q$ no está dentro de $\mathcal{C}_1$. La recta $PQ$ corta de nuevo a $\mathcal{C}_1$ en $R$ y a $\mathcal{C}_2$ en $S$, ambos puntos distintos de $B$. Supongamos que $CR$ corta de nuevo a $\mathcal{C}_1$ en $X$ y $CS$ corta de nuevo a $\mathcal{C}_1$ en $Y$ . Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$. Muestra que $SZ$ es paralela a $QX$ si y sólo si $PZ$ es paralela a $RX$.