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Encuentra todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ tales que $abc=a+b+c+1$.

En cada casilla de un tablero de $n \times n$ hay un foco. Inicialmente todos los focos están apagados. En un paso, se permite cambiar el estado de todos los focos en una fila o de todos los focos en una columna (los focos prendidos se apagan y los focos apagados se prenden). Muestra que si después de cierta cantidad de pasos hay uno o más focos prendidos entonces en ese momento hay al menos $n$ focos prendidos.

Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias tangentes exteriormente en un punto $A$. Se traza una recta tangente a $\mathcal{C}_1$ en $B$ y secante a $\mathcal{C}_2$ en $C$ y $D$; luego se prolonga el segmento $AB$ hasta intersecar a $\mathcal{C}_2$ en un punto $E$. Sea $F$ el punto medio del arco $CD$ sobre $\mathcal{C}_2$ que no contiene a $E$ y sea $H$ la intersección de $BF$ con $\mathcal{C}_2$. Muestra que $CD$, $AF$ y $EH$ son concurrentes.

Sea $n$ un entero positivo. En una cuadrícula de $n\times 4$, cada región es igual a \[\boxed{2}\boxed{0}\boxed{1}\boxed{0}\] Un "cambio" es tomar tres casillas consecutivas en el mismo renglón y con dígitos distintos escritos en ellas y cambiar los tres dígitos de estas casillas escritas de la siguiente manera \[0\to 1, \quad 1\to 2, \quad 2\to 0.\] Por ejemplo, un renglón $\boxed{2}\boxed{0}\boxed{1}\boxed{0}$ puede cambiarse al renglón $\boxed{0}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{0}$ pero no al renglón $\boxed{2}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{1}$ pues $0$, $1$ y $0$ no son distintos entre sí. Los cambios se pueden aplicar cuantas veces se quiera, aún a renglones ya cambiados. Muestra que para $n < 12$ no es posible hacer un número finito de cambios de forma que la suma de los números en cada una de las cuatro columnas sea la misma.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \neq AC$, $M$ el punto medio de $BC$ y $H$ el ortocentro de $ABC$. La circunferencia que pasa por $B$, $H$ y $C$ corta a la mediana $AM$ en $N$. Muestra que $\angle ANH = 90^o$.

Sean $p, q, r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a \[(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1,\] entonces $(pqr)^3$ divide a \[3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1).\]