◄ OMM 2009 ►

Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la altura sobre el lado $BC$. Tomando a $D$ como centro y a $AD$ como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta $AB$ en $P$ , y corta a la recta $AC$ en $Q$. Muestra que el triángulo $AQP$ es semejante al triángulo $ABC$.

En cajas marcadas con los números $0,1,2,\dots$ se van a colocar todos los enteros positivos de acuerdo con las siguientes reglas: Si $p$ es un número primo, este se coloca en la caja con el número $1$. Si el número $a$ se coloca en la caja con el número $m_a$ y $b$ se coloca en la caja con el número $m_b$, entonces el producto de $a$ y $b$, es decir $ab$, se coloca en la caja con el número $am_b+bm_a$. Encuentra todos los enteros positivos $n$ que cuando se coloquen queden en la caja con el número $n$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que \[\frac{a^3}{a^3+2}+\frac{b^3}{b^3+2}+\frac{c^3}{c^3+2}\ge1\text{ y que }\frac1{a^3+2}+\frac1{b^3+2}+\frac1{c^3+2}\le1.\]

Sea $n\gt 1$ un entero impar y sean $a_1,a_2,\dots, a_n$ números reales distintos. Sea $M$ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos en la expresión $s=\pm a_1\pm a_2\pm \dots \pm a_n$ de manera que \[m\lt s\lt M.\]

Considera un triángulo $ABC$ y un punto $M$ sobre el lado $BC$. Sea $P$ la intersección de las perpendiculares a $AB$ por $M$ y a $BC$ por $B$, y sea $Q$ la intersección de las perpendiculares a $AC$ por $M$ y a $BC$ por $C$. Muestra que $PQ$ es perpendicular a $AM$ si y solo si $M$ es el punto medio de $BC$.

En una fiesta con $n$ personas, se sabe que de entre cualesquiera $4$ personas, hay $3$ de las $4$ que se conocen entre sí o hay $3$ que no se conocen entre sí. Muestra que las $n$ personas se pueden separar en dos salones de manera que en un salón todos se conocen entre sí y en el otro no hay dos personas que se conozcan entre sí. Nota. Conocerse se considera una relación mutua.