◄ OMM 2007 ►

Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$ hay $10$ números consecutivos pero no $11$.

Dado un triángulo equilátero $ABC$, encuentra todos los puntos $P$ del plano que cumplan $\angle APB=\angle BPC$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$. Muestra que \[\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\leq 2.\]

Para un entero positivo $n$ se definen: $n_1$ como la suma de los dígitos de $n$, $n_2$ como la suma de los dígitos de $n_1$ y $n_3$ como la suma de los dígitos de $n_2$. Por ejemplo para $n=199,n_1=19,n_2=199_2=10$ y $n_3=199_3=1$. Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(m,n)$ tales que $m+n=2007$ y $m_3+n_2=2007_3$.

En cada cuadrado de una cuadrícula de $6 \times 6$ hay una luciérnaga apagada o encendida. Una movida es escoger tres cuadrados consecutivos ya sean los tres verticales o los tres horizontales, y cambiar de estado a las tres luciérnagas que se encuentran en dichos cuadrados. Cambiar de estado a una luciérnaga significa que si está apagada se enciende y viceversa. Muestra que si inicialmente hay una luciérnaga encendida y las demás apagadas, no es posible hacer una serie de movidas tales que al final todas las luciérnagas estén apagadas.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB > AC > BC$. Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ de tal manera que $CD = BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $AC$. Muestra que $BD = AC$ si y sólo si $\angle BAC = 2\angle ABM$ .