◄ OMM 2005 ►

Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, y sea $P$ un punto cualquiera del segmento $BC$ ($P\neq B$ y $P\neq C$). Supón que la circunferencia circunscrita al triángulo $BPO$ corta al segmento $AB$ en $R$ ($R\neq A$ y $R\neq B$) y que la circunferencia circunscrita al triángulo $COP$ corta al segmento $CA$ en el punto $Q$ ($Q\neq C$ y $Q\neq A$). Muestra que el triángulo $PQR$ que es semejante al triángulo $ABC$ y su ortocentro es $O$. A demás, muestra que las circunferencias circunscritas a los triángulos $BPO$, $COP$, $PQR$ son todas del mismo tamaño.

Dadas varias cuadrículas del mismo tamaño con números escritos en sus casillas, su suma se efectúa sumando las casillas que están en la misma posición, creando una cuadrícula del mismo tamaño. Dado un entero positivo $N$, diremos que una cuadrícula es $N$-balanceada si tiene números enteros escritos en sus casillas y si la diferencia entre los números escritos en cualesquiera dos casillas que comparten un lado es menor o igual a $N$. Muestra que toda cuadrícula $2n$-balanceada (de cualquier tamaño) se puede escribir como suma de dos cuadrículas $n$-balanceadas. A demás, muestra que toda cuadrícula $3n$-balanceada (de cualquier tamaño) se puede escribir como suma de tres cuadrículas $n$-balanceadas.

Determina todas las parejas $(a,b)$ de números enteros distintos de cero para las cuales es posible encontrar un entero entero positivo $x$ primo relativo con $b$ y un entero cualquiera $y$, tales que en la siguiente lista hay una infinidad de números enteros: \[\frac{a+xy}{b},\frac{a+xy^2}{b^2},\frac{a+xy^3}{b^3},\dots,\frac{a+xy^n}{b^n},\dots\]

Decimos que una lista de números enteros $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_m$ contiene una terna aritmética $a_i,a_j,a_k$ si $i\lt j\lt k$ y $2a_j=a_i+a_k$. Por ejemplo, $8,1,5,3,7$ tiene una terna aritmética $(8,5,2)$ pero $8,1,2,5,7$ no. Sea $n$ un entero positivo. Muestra que los números $1,2,3,\dots ,n$ se pueden reordenar en una lista que no contenga ternas aritméticas.

Sea $N$ un número entero mayor que $1$. En cierta baraja de $N^3$ cartas, cada carta está pintada de uno de $N$ colores distintos, tiene dibujada una de $N$ posibles figuras,¡ y tiene escrito un número entero del $1$ al $N$ (no hay dos cartas idénticas). Una colección de cartas de la baraja se llama completa si tiene cartas de todos los colores, o si entre sus cartas aparecen todas las figuras o todos los números. ¿Cuántas colecciones no completas tienen la propiedad de que, al añadir cualquier otra carta de la baraja, se vuelven completas?

Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la bisectriz del ángulo $\angle BAC$, con $D$ un punto del lado $BC$. Sea $E$ un punto del segmento $BC$ tal que $BD=EC$. Por $E$ se traza $\ell$, la recta paralela a $AD$. Sea $P$ un punto en $\ell$ y dentro del triángulo $ABC$. Sea $G$ el punto donde la recta $BP$ corta al lado $AC$ y sea $F$ el punto donde la recta $CP$ corta al lado $AB$. Muestra que $BF=CG$.