◄ OMM 2004 ►

Encuentra todos los números primos $p$, $q$, $r$ con $p\lt q\lt r$, tales que $25pq+r=2004$ y que $pqr+1$ sea un cuadrado perfecto.

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros positivos que se pueden encontrar de manera que cualesquiera dos de ellos $a$ y $b$ (Con $a\neq b$) cumplan que $\left| a-b \right|\geq \frac{ab}{100}$?

Sean $Z$ y $Y$ los puntos de tangencia del incírculo del triángulo $ABC$ con los lados $AB$ y $CA$, respectivamente. La paralela a $YZ$ por el punto medio $M$ del lado $BC$ corta a $CA$ en $N$. Sea $L$ el punto del segmento $CA$ tal que $NL=AB$ (con $L$ y $A$ del mismo lado con respecto a $N$). La recta $ML$ corta a $AB$ en $K$. Muestra que $KA=NC$.

Al final de un torneo de fútbol en el que cada par de equipos jugó entre sí exactamente una vez y donde no hubo empates, se observó que para cualesquiera tres equipos $A$, $B$ y $C$, si $A$ le ganó a $B$ y $B$ le ganó a $C$, entonces $A$ le ganó a $C$. Cada equipo calculó la diferencia (positiva) entre el número de partidos que ganó y el número de partidos que perdió. La suma de todas estas diferencias resultó ser $5000$. ¿Cuántos equipos participaron en el torneo? Encuentra todas las respuestas posibles.

Sean $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ dos circunferencias tales que el centro $O$ de $\mathcal{B}$ esté en $\mathcal{A}$. Sean $C$ y $D$ los dos puntos de intersección de las circunferencias. Se toman un punto $A$ en $\mathcal{A}$ y un punto $B$ en $\mathcal{B}$ tales que $AC$ es tangente a $\mathcal{B}$ en $C$ y $BC$ es tangente a $\mathcal{A}$ en el mismo punto $C$. El segmento $AB$ corta de nuevo a $\mathcal{B}$ en $E$ y ese mismo segmento corta de nuevo a $\mathcal{A}$ en $F$. La recta $CE$ vuelve a cortar a $\mathcal{A}$ en $G$ y la recta $CF$ corta a la recta $GD$ en $H$. Muestra que el punto de intersección de $GO$ y $EH$ es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $DEF$.

¿Cuál es el mayor número posible de cambios de dirección en un recorrido sobre las líneas de una cuadrícula de $2004\times 2004$ casillas, si el recorrido no pasa dos veces por el mismo lugar?