◄ OMM 2003 ►

Dado un número entero $k$ de dos o más cifras, se forma otro número entero $m$ insertando un cero entre la cifra de las unidades y la de las decenas de $k$. Encuentra todos los números $k$ para los cuales $m$ resulta ser un múltiplo de $k$.

Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos colineales con $B$ entre $A$ y $C$. Sea $\mathcal{Y}$ una circunferencia tangente a $AC$ en $B$, sean $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Z}$ las circunferencias de diámetros $AB$ y $BC$, respectivamente. Sea $P$ el punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Y}$; sea $Q$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $\mathcal{Y}$ y $\mathcal{Z}$. Supón que la recta $PQ$ corta a $\mathcal{X}$ en un punto $R$ distinto de $P$ y que esta misma recta $PQ$ corta a $\mathcal{Z}$ en un punto $S$ distinto de $Q$. Muestra que concurren $AR,$ $CS$ y la tangente común a $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Z}$ por $B$.

En una fiesta hay el mismo número $n$ de muchachos que de muchachas. Supón que a cada muchacha le gustan $a$ muchachos y a cada muchacho le gustan $b$ muchachas. Para qué valores de $a$ y $b$ es correcto afirmar que hay un muchacho y una muchacha que se gustan mutuamente?

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralelo a $DC$. Se toman puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $\frac{AP}{PB}=\frac{DQ}{QC}$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con $DP$ y sea $N$ la intersección de $PC$ con $QB$. Muestra que la longitud de $MN$ depende únicamente de las longitudes de $AB$ y $CD$, y calcula su valor.

Se escriben en tarjetas todas las parejas de números enteros $(a,b)$ con $1\leq a < b\leq 2003$. Dos personas juegan con las tarjetas como sigue; cada jugador en su turno elige $(a,b)$ (que se retira del juego) y escribe el producto $a\cdot b$ en un pizarrón (ambos jugadores usan el mismo pizarrón). Pierde el jugador que ocasione que el máximo común divisor de los números escritos hasta el momento sea $1$. ¿Quién tiene estrategia ganadora? (Es decir, ¿cuál de los dos jugadores puede inventar un método con el cual asegura su triunfo?).

Dado un número entero $n$, un cambio sensato consiste en sustituir $n$ por $2n+1$ o $3n+2$. Dos enteros positivos $a$ y $b$ se llaman compatibles si existe un entero que se puede obtener haciendo uno o más cambios sensatos, tanto a partir de $a$, como a partir de $b$. Encuentra todos los enteros positivos compatibles con $2003$ menores que $2003$.