"La práctica es solo el proceso de mejorar la intuición." - Pablito

OMM 2003

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Problema 1

Dado un número entero k de dos o más cifras, se forma otro número entero m insertando un cero entre la cifra de las unidades y la de las decenas de k. Encuentra todos los números k para los cuales m resulta ser un múltiplo de k.

Problema 2

Sean A, B y C tres puntos colineales con B entre A y C. Sea Y una circunferencia tangente a AC en B, sean X y Z las circunferencias de diámetros AB y BC, respectivamente. Sea P el punto (además de B) en el que se cortan las circunferencias X y Y; sea Q el otro punto (además de B) en el que se cortan las circunferencias Y y Z. Supón que la recta PQ corta a X en un punto R distinto de P y que esta misma recta PQ corta a Z en un punto S distinto de Q. Muestra que concurren AR, CS y la tangente común a X y Z por B.

Problema 3

En una fiesta hay el mismo número n de muchachos que de muchachas. Supón que a cada muchacha le gustan a muchachos y a cada muchacho le gustan b muchachas. Para qué valores de a y b es correcto afirmar que hay un muchacho y una muchacha que se gustan mutuamente?

Problema 4

Sea ABCD un trapecio con AB paralelo a DC. Se toman puntos P y Q en los lados AB y CD, respectivamente, tales que APPB=DQQC. Sea M la intersección de AQ con DP y sea N la intersección de PC con QB. Muestra que la longitud de MN depende únicamente de las longitudes de AB y CD, y calcula su valor.

Problema 5

Se escriben en tarjetas todas las parejas de números enteros (a,b) con 1a<b2003. Dos personas juegan con las tarjetas como sigue; cada jugador en su turno elige (a,b) (que se retira del juego) y escribe el producto ab en un pizarrón (ambos jugadores usan el mismo pizarrón). Pierde el jugador que ocasione que el máximo común divisor de los números escritos hasta el momento sea 1. ¿Quién tiene estrategia ganadora? (Es decir, ¿cuál de los dos jugadores puede inventar un método con el cual asegura su triunfo?).

Problema 6

Dado un número entero n, un cambio sensato consiste en sustituir n por 2n+1 o 3n+2. Dos enteros positivos a y b se llaman compatibles si existe un entero que se puede obtener haciendo uno o más cambios sensatos, tanto a partir de a, como a partir de b. Encuentra todos los enteros positivos compatibles con 2003 menores que 2003.