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Problema 1
Dado un número entero de dos o más cifras, se forma otro número entero insertando un cero entre la cifra de las unidades y la de las decenas de . Encuentra todos los números para los cuales resulta ser un múltiplo de .
Problema 2
Sean , y tres puntos colineales con entre y . Sea una circunferencia tangente a en , sean y las circunferencias de diámetros y , respectivamente. Sea el punto (además de ) en el que se cortan las circunferencias y ; sea el otro punto (además de ) en el que se cortan las circunferencias y . Supón que la recta corta a en un punto distinto de y que esta misma recta corta a en un punto distinto de . Muestra que concurren y la tangente común a y por .
Problema 3
En una fiesta hay el mismo número de muchachos que de muchachas. Supón que a cada muchacha le gustan muchachos y a cada muchacho le gustan muchachas. Para qué valores de y es correcto afirmar que hay un muchacho y una muchacha que se gustan mutuamente?
Problema 4
Sea un trapecio con paralelo a . Se toman puntos y en los lados y , respectivamente, tales que . Sea la intersección de con y sea la intersección de con . Muestra que la longitud de depende únicamente de las longitudes de y , y calcula su valor.
Problema 5
Se escriben en tarjetas todas las parejas de números enteros con . Dos personas juegan con las tarjetas como sigue; cada jugador en su turno elige (que se retira del juego) y escribe el producto en un pizarrón (ambos jugadores usan el mismo pizarrón). Pierde el jugador que ocasione que el máximo común divisor de los números escritos hasta el momento sea . ¿Quién tiene estrategia ganadora? (Es decir, ¿cuál de los dos jugadores puede inventar un método con el cual asegura su triunfo?).
Problema 6
Dado un número entero , un cambio sensato consiste en sustituir por o . Dos enteros positivos y se llaman compatibles si existe un entero que se puede obtener haciendo uno o más cambios sensatos, tanto a partir de , como a partir de . Encuentra todos los enteros positivos compatibles con menores que .