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Existen circunferencias $A,B,C,D$ en el plano tales que las circunferencias $A$ y $B$ son tangentes externamente en $P, B$ y $C$ en $Q, C$ y $D$ en $R$, y $D$ y $A$ en $S$. Las circunferencias $A$ y $C$ no se encuentran, ni tampoco $B$ y $D$. Muestra que los puntos $P,Q,R,S$ se encuentran en una misma circunferencia. Supongamos que $A$ y $C$ tienen radio $2, B$ y $D$ tienen radio $3$, y la distancia entre los centros de $A$ y $C$ es $6$. Calcula el área del cuadrilátero $PQRS$.

Se construye un triángulo de números de la siguiente manera. La primera fila está formada por los números de $1$ a $2000$ en orden creciente, y debajo de dos números consecutivos cualesquiera se escribe su suma. ¿Cuál es el número de la última fila?

Dado un conjunto $A$ de enteros positivos, el conjunto $A'$ se compone de los elementos de $A$ y de todos los enteros positivos que se pueden obtener de la siguiente manera: \\ Se escriben algunos elementos de $A$ uno tras otro sin repetir, se escribe un signo $+ $ o $-$ antes de cada uno de ellos, y se evalúa la expresión obtenida. El resultado se incluye en $A'$. \\ Por ejemplo, si $A = \{2,8,13,20\}$, los números $8$ y $14 = 20-2+8$ son elementos de $A'$. \\ El conjunto $A''$ se construye a partir de $A'$ de la misma manera. \\ Hallar el menor número posible de elementos de $A$, si $A''$ contiene todos los enteros de $1$ a $40$.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos que no son múltiplos de $5$. Se construye una sucesión de enteros como sigue: el primer término es $5$, y cada término siguiente se obtiene multiplicando el anterior por $a$ y añadiendo $b$. (Por ejemplo, si $a = 2$ y $b = 4$, los tres primeros términos son $5,14,32$.) ¿Cuál es el máximo número posible de números primos en la secuencia que pueden aparecer antes de que haya un término compuesto?

Un tablero $n$×$n$ está coloreado en blanco y negro como un tablero de ajedrez. Se pueden realizar los siguientes pasos: Elegir un rectángulo dentro del tablero (formado por casillas enteras) cuyas longitudes de los lados sean ambas impares o ambas pares, pero no ambas iguales a $1$, e invertir los colores de todas las casillas dentro del rectángulo. Determinar los valores de $n$ para los que es posible hacer que todas las celdas tengan el mismo color en un número finito de dichos pasos.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle B > 90^o$ tal que existe un punto $H$ en el lado $AC$ con $AH = BH$ y BH perpendicular a $BC$. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. La recta que pasa por $H$ paralela a $AB$ corta a $DE$ en $F$. Muestra que $\angle BCF = \angle ACD$.