En una mesa hay $1999$ fichas, rojas en un lado y negras en el otro, colocadas aleatoriamente. Dos personas realizan movimientos alternados, donde cada movimiento es de uno de los dos tipos siguientes: $(1)$ Retirar varias fichas que tengan todas el mismo color hacia arriba; $(2)$ Invertir varias fichas que tienen todas el mismo color hacia arriba. Gana el jugador que se lleva la última ficha. Determina cuál de los dos jugadores (el que juega primero o el otro) tiene una estrategia ganadora.

Demuestre que no existen $1999$ primos en progresión aritmética, todos ellos menores que $12345$.

Sea $P$ un punto dentro de el triángulo $ABC$. Sean $D,E,F$ los puntos medios de $AP,BP,CP$, y sean $L,M,N$ los puntos de intersección de $BF$ y $CE,AF$ y $CD,AE$ y $BD$, respectivamente. Muestra que $DL,EM$ y $FN$ son concurrentes.

Un tablero de $8\times 8$ está dividido en cuadritos unitarios. Diez de estos cuadritos tienen sus centros marcados. Muestra que existen dos centros marcados que están a lo más a $\sqrt{2}$ de distancia, o existe un centro marcado a $1/2$ o menos del borde del tablero.

En un cuadrilátero $ABCD$ con $AB\parallel CD$, las bisectrices externas de los ángulos en $B$ y $C$ se intersectan en $P$, y que las bisectrices externas de los ángulos en $A$ y $D$ se encuentran en $Q$. Muestra que la longitud de $PQ$ es igual al semiperímetro de $ABCD$.

Un polígono tiene lados de longitud entera, y cada par de lados adyacentes perpendiculares (no es necesariamente convexo). Muestra que si el polígono puede ser cubierto por dominós de $2\times 1$ no superpuestos, entonces al menos uno de sus lados tiene longitud par.