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Problema 1
Un número se llama suertudo si al calcular la suma de los cuadrados de sus dígitos y repetir esta operación un número suficiente de veces se obtiene el número $1$. Por ejemplo, $1900$ es suertudo, ya que $1900 \to 82 \to 68 \to 100 \to 1$. Encuentra infinitas parejas de números suertudos consecutivos.
Problema 2
Los rayos $l$ y $m$ salen del mismo punto y forman un ángulo $a$. Sea $P$ un punto fijo en $l$. Para cada circunferencia $C$ tangente a $l$ en $P$ y que corta a $m$ en $Q$ y $R$, sea $T$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $QPR$ con $C$. Describe el lugar geométrico de $T$ y justifica tu respuesta.
Problema 3
Cada lado y diagonal de un octógono regular está coloreado de rojo o negro. Demuestra que hay al menos siete triángulos cuyos vértices son vértices del octógono y sus tres lados son del mismo color.
Problema 4
Encuentra todos los enteros que se pueden escribir de la forma $\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+...+\frac{9}{a_9}$, tales que $a_1,a_2, ...,a_9$ son dígitos distintos de 0, no necesariamente distintos.
Problema 5
Las tangentes en los puntos $B$ y $C$ de una circunferencia dada se intersectan en el punto $A$. Sea $Q$ un punto del segmento $AC$ tal que $BQ$ vuelva a encontrarse con la circunferencia en $P$. La recta que pasa por $Q$ paralela a $AB$ corta a $BC$ en $J$. Muestra que $PJ$ es paralela a $AC$ si y sólo si $BC^2 = AC\cdot QC$.
Problema 6
Un plano en el espacio es equidistante de un conjunto de puntos si las distancias del plano a los puntos del conjunto son iguales. ¿Cuál es el mayor número posible de planos equidistantes de cinco puntos, de los cuales cuatro no son coplanares?