◄ OMM 1997 ►

Presiona el título de cualquier problema para ver su página individual.

• Regresar a OMM
• Regresar a la página de inicio

Problema 1

Encuentra todos los números primos $p$ tales que $8p^4-3003$ es un número primo positivo.

Problema 2

En el triángulo $ABC, P$ y $P'$ son puntos del lado $BC, Q$ del lado $CA$, y $R $ del lado $AB$, tales que \[\frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{CP'}{P'B}\] . Sea $G$ el centroide del triángulo $ABC$ y $K$ el punto de intersección de $AP'$ y $RQ$. Muestra que los puntos $P,G,K$ son colineales.

Problema 3

Se escriben los números del $1$ al $16$ en las casillas de un tablero de $4\times 4$. Muestra que se pueden acomodar los números de manera que dos números cualesquiera en las celdas que comparten un lado tengan diferencia máxima de 4. Muestra que no se pueden acomodar los números de manera que dos números cualesquiera en las celdas que comparten un lado tengan diferencia máxima de 3.

Problema 4

¿Cuál es el número mínimo de planos determinados por $6$ puntos en el espacio tales que no son todos coplanares, y entre los cuales no hay tres colineales?

Problema 5

Sean $P,Q,R$ puntos de los lados $BC,CA,AB$ respectivamente de un triángulo $ABC$. $BQ$ y $CR$ se intersectan en $A', AP$ y $CR$ se intersectan en $B'$, y $AP$ y $BQ$ se intersectan en $C'$, de modo que $AB' = B'C', BC' =C'A'$, y $CA'= A'B'$. Encuentra el valor de el cociente entre el área del $\triangle PQR$ y el área del $\triangle ABC$.

Problema 6

Muestra que el número $1$ tiene infinitas representaciones de la forma \[ 1 =\frac{1}{5}+\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ ...+\frac{1}{a_n}, \] donde $n$ y $a_i$ son enteros positivos, y $5\lt a_1\lt a_2\lt\dots\lt a_n$.