◄ OMM 1996 ►

Sean $P$ y $Q$ puntos de la diagonal $BD$ de un cuadrilátero $ABCD$ tal que $BP = PQ = QD$. Sea $E$ el punto de intersección de $AP$ y $BC$, y $F$ el punto de intersección de $AQ$ con $DC$. Muestra que $ABCD$ es un paralelogramo si y solo si $E$ y $F$ son los puntos medios de $BC$ y $DC$, respectivamente.

Alrededor de una mesa circular hay $64$ cabinas y en cada una hay una ficha. Las fichas y las cabinas correspondientes están numeradas de $1$ a $64$ en este orden. En el centro de la mesa hay $1996$ bombillas que están apagadas. Cada minuto las fichas se mueven simultáneamente de forma circular (siguiendo el sentido de la numeración) de la siguiente manera: la ficha $1$ se mueve una cabina, la ficha $2$ se mueve dos cabinas, etc., de forma que más de una ficha puede estar en la misma cabina. Cada vez que una ficha comparte cabina con la ficha $1$, se enciende una bombilla. ¿Dónde está la ficha $1$ en el primer minuto en el que están encendidas todas las bombillas?

Muestra que no es posible cubrir un tablero cuadrado de $6\times 6$ con dieciocho rectángulos de $2\times 1$, tal que cada una de las líneas interiores de la cuadrícula corte al menos uno de los rectángulos. Muestra también que es posible cubrir un rectángulo de $6\times 5$ con quince rectángulos de $2\times 1$ de forma que se cumpla la condición anterior.

¿Para qué números enteros $n\ge 2$ se pueden escribir los números $1$ a $16$, cada uno en un cuadrito de un papel cuadriculado de $4\times 4$ de forma que las $8$ sumas de los números en las filas y columnas sean todas diferentes y divisibles por $n$?

Los números de $1$ a $n^2$ se escriben en un papel cuadriculado de $n\times n$ en el orden normal. Cualquier secuencia de pasos hacia la derecha y hacia abajo de un cuadrado a otro adyacente (compartiendo lado) que comienza en el cuadrado $1$ y termina en el cuadrado $n^2$ se llama camino. Denotemos por $L(C)$ la suma de los números por los que pasa el camino $C$. Para un $n$ fijo, sean $M$ y $m$ el mayor y menor valor de $L(C)$ posibles. Muestra que $M-m$ es un cubo perfecto. Muestra que para ningún $n$ se puede encontrar un camino $C$ con $L(C) = 1996$.

En un triángulo $ABC$ con $AB < BC < AC$, los puntos $A' ,B' ,C'$ son tales que $AA' \perp BC$ y $AA' = BC, BB' \perp CA$ y $BB'=CA$, y $CC' \perp AB$ y $CC'= AB$, como se muestra en la figura. Si $\angle AC'B$ es un ángulo recto, muestra que los puntos $A',B' ,C' $ son colineales.

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