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Problema 1

$N$ estudiantes están sentados en los pupitres en un arreglo de $m \times n$, donde $m, n \ge 3$. Cada alumno le da la mano a los alumnos que están adyacentes horizontal, vertical o diagonalmente. Si hay $1020$ apretones de manos en total, ¿cuál es el valor de $N$?

Problema 2

Existen 6 puntos en el plano tales que 8 de las distancias entre ellos son iguales a 1. Muestra que hay al menos 3 puntos que forman un triángulo equilátero.

Problema 3

$A, B, C, D$ son vértices consecutivos de un polígono regular de 7 vértices. $AL$ y $AM$ son tangentes a la circunferencia centro $C$ radio $CB.$ Sea $N$ el punto de intersección de $AC$ y $BD.$ Muestra que $L, M, N$ son colineales.

Problema 4

Encuentra $26$ elementos de $\{1, 2, 3, ... , 40\}$ tales que el producto de dos de ellos nunca sea un cuadrado perfecto. Muestra que no se pueden encontrar $27$ elementos que cumplan esta condición.

Problema 5

$ABCDE$ es un pentágono convexo tal que los triángulos $ABC, BCD, CDE, DEA$ y $EAB$ tienen áreas iguales. Muestra que $(1/4)$ área $(ABCDE) <$ área $(ABC) < (1/3)$ área $(ABCDE)$.

Problema 6

Se coloca un $1$ o $0$ en cada casilla de un tablero de $4\times 4$. Se pueden cambiar de $0$ a $1$ y vice versa cada número de una fila, columna, o diagonal (hay $14$ diagonales de longitudes $1$ a $4$). ¿Para qué arreglos se pueden hacer cambios de manera que únicamente queden $0$s?