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Problema 1
Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 90^o$. Sea $E$ un punto tal que $AEC$ es exterior a $ABC$, $AE = CE$ y $\angle AEC = 90^o$. Análogamente, tomamos $D$ de manera que $ADB$ es exterior a $ABC$ y semejante a $AEC$. $O$ es el punto medio de $BC$. Las rectas $OD$ y $EC$ se intersectan en $D'$, y las rectas $OE$ y $BD$ se intersectan $E'$. Encuentra el área $DED'E'$ en términos de los lados de $ABC$.
Problema 2
Encuentre todos los enteros positivos entre $100$ y $999$ tales que son iguales a la suma de los cubos de sus dígitos.
Problema 3
Dado un pentágono de área $1993$ y $995$ puntos dentro del pentágono, sea $S$ el conjunto que contiene los vértices del pentágono y los $995$ punto. Muestra que existen tres puntos de $S$ que formen un triángulo de área menor o igual a $1$.
Problema 4
La función $f(n,k)$ se define de la siguiente manera:
\begin{align*}
&(1)\ f(n,0)= f(n,n) = 1 \text{ y } \\
&(2)\ f(n,k)= f(n-1,k-1) + f(n-1,k)\text{ para }0 < k < n.
\end{align*}
¿Cuántas veces tenemos que usar $(2)$ para encontrar $f(3991,1993)$?
Problema 5
$OA, OB, OC$ son tres cuerdas de una circunferencia. Las circunferencias con diámetros $OA, OB$ se intersectan por segunda vez en $Z$, las circunferencias de diámetros $OB, OC$ se intersectan por segunda vez en $X$, y las circunferencias de diámetros $OC, OA$ se intersectan por segunda vez $Y$. Muestra que los puntos $X, Y, Z$ son colineales.
Problema 6
Sea $p$ un primo impar. Muestra que $p$ divide a $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$ para algún número entero $n$ si y solo si $p$ divide a $m^2 - 5$ para algún número entero $m$.