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Problema 1
El tetraedro $OPQR$ tiene el $\angle POQ = \angle POR = \angle QOR = 90^o$. $X, Y, Z$ son los puntos medios de $PQ, QR$ y $RP.$ Demuestre que las cuatro caras del tetraedro $OXYZ$ tienen la misma área.
Problema 2
Dado un número primo $p$, ¿cuántas tuplas $(a, b, c, d)$ de números enteros positivos con $0 \le a, b, c, d \le p-1$ satisfacen $ad = bc \pmod{p}$?
Problema 3
Dados $7$ puntos dentro o sobre un hexágono regular, demuestra que tres de ellos forman un triángulo con área $\le \frac{1}{6}$ el área del hexágono.
Problema 4
Demuestre que $1 + 11^{11} + 111^{111} + 1111^{1111} +...+ 1111111111^{1111111111}$ es divisible por $100$.
Problema 5
$x, y, z$ son reales positivos con suma $3$. Demuestra que
\[ 6 < \sqrt{2x+3} + \sqrt{2y+3} + \sqrt{2z+3}\le 3\sqrt{5} \]
Problema 6
$ABCD$ es un rectángulo. $I$ es el punto medio de $CD$. $BI$ se encuentra con $AC$ en $M$. Demostrar que la recta $DM$ pasa por el punto medio de $BC$. $E$ es un punto fuera del rectángulo tal que $AE = BE$ y $\angle AEB = 90^o$. Si $BE = BC = x$, demostrar que $EM$ biseca a $\angle AMB$. Hallar el área de $AEBM$ en términos de $x$.