"La práctica es solo el proceso de mejorar la intuición." - Pablito

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Problema 1

Evaluar la suma de todas las fracciones irreducibles positivas menores que 1 y que tengan el denominador 1991.

Problema 2

Una compañía de n soldados es tal que n es un número palíndromo (se lee igual en ambas direcciones). Si los soldados se disponen en filas de 3, 4 o 5 soldados, entonces la última fila contiene 2, 3 y 5 soldados, respectivamente. Encontrar el menor n que satisfaga estas condiciones y demostrar que hay infinitos números n.

Problema 3

Se colocan cuatro esferas de radio 1 en el espacio de forma que cada una de ellas toca a las otras tres. ¿Cuál es el radio de la esfera más pequeña que las contiene a todas?

Problema 4

Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo ABCD son perpendiculares. Sean M,N,R,S los puntos medios de los lados AB,BC,CD y DA respectivamente, y sean W,X,Y,Z las proyecciones de los puntos M,N,R y S sobre las rectas CD,DA,AB y BC, respectivamente. Demostrar que los puntos M,N,R,S,W,X,Y y Z se encuentran en una misma circunferencia.

Problema 5

La suma de cuadrados de dos enteros consecutivos puede ser un cuadrado, como en 32+42=52. Demostrar que la suma de cuadrados de m enteros consecutivos no puede ser un cuadrado para m=3 o 6 y encontrar un ejemplo de 11 enteros consecutivos cuya suma de cuadrados sea un cuadrado.

Problema 6

Dado un polígono de n lados (n≥4), considere un conjunto T de triángulos formados por vértices del polígono que con la siguiente propiedad: Cualesquiera dos triángulos en T tienen o bien dos vértices comunes, o bien ninguno. Demostrar que T contiene a lo más n triángulos.