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Problema 1
Evaluar la suma de todas las fracciones irreducibles positivas menores que $1$ y que tengan el denominador $1991$.
Problema 2
Una compañía de $n$ soldados es tal que $n$ es un número palíndromo (se lee igual en ambas direcciones). Si los soldados se disponen en filas de $3$, $4$ o $5$ soldados, entonces la última fila contiene $2$, $3$ y $5$ soldados, respectivamente.
Encontrar el menor $n$ que satisfaga estas condiciones y demostrar que hay infinitos números $n$.
Problema 3
Se colocan cuatro esferas de radio $1$ en el espacio de forma que cada una de ellas toca a las otras tres. ¿Cuál es el radio de la esfera más pequeña que las contiene a todas?
Problema 4
Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$ son perpendiculares. Sean $M,N,R,S$ los puntos medios de los lados $AB,BC,CD$ y $DA$ respectivamente, y sean $W,X,Y,Z$ las proyecciones de los puntos $M,N,R$ y $S$ sobre las rectas $CD,DA,AB$ y $BC$, respectivamente. Demostrar que los puntos $M,N,R,S,W,X,Y$ y $Z$ se encuentran en una misma circunferencia.
Problema 5
La suma de cuadrados de dos enteros consecutivos puede ser un cuadrado, como en $3^2+4^2 =5^2$. Demostrar que la suma de cuadrados de $m$ enteros consecutivos no puede ser un cuadrado para $m = 3$ o $6$ y encontrar un ejemplo de $11$ enteros consecutivos cuya suma de cuadrados sea un cuadrado.
Problema 6
Dado un polígono de $n$ lados ($n\ge 4$), considere un conjunto $T$ de triángulos formados por vértices del polígono que con la siguiente propiedad: Cualesquiera dos triángulos en $T$ tienen o bien dos vértices comunes, o bien ninguno. Demostrar que $T$ contiene a lo más $n$ triángulos.