OMM 1990

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Problema 1

¿Cuántos caminos hay desde$ A$ hasta la recta $BC$ si el camino no pasa dos veces por ningún vértice y se mueve siempre hacia la izquierda?

Problema 2

$ABC$ es un triángulo con $\angle B = 90^o$ y altura $BH$. Los inradios de $ABC, ABH, CBH$ son $r, r_1, r_2$. Encuentra una relación entre ellos.

Problema 3

Demuestre que $n^{n-1}-1$ es divisible por $ (n-1)^2$ para todo $n > 2$.

Problema 4

Considera las $27$ fichas de dominó que quedan quitando la blanca-blanca. Tomando en cuenta los puntos que hay en una ficha, a cada ficha le corresponde un número racional menor o igual que uno. ¿Cuál es la suma de todos estos números?

Problema 5

Dados $19$ puntos en el plano con coordenadas enteras, donde no hay tres colineales. Demuestre que siempre podemos encontrar tres de esos puntos cuyo centroide tiene coordenadas enteras.

Problema 6

$ABC$ es un triángulo con $\angle C = 90^o$. $E$ es un punto de $AC$, y $F$ es el punto medio de $EC$. $CH$ es una altura. $I$ es el circuncentro de $AHE$, y $G$ es el punto medio de $BC$. Demuestra que $ABC$ y $IGF$ son similares.