◄ OMM 1988 ►
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Problema 1
¿De cuántas maneras se pueden acomodar siete canicas blancas y cinco negras en una línea de tal manera que no haya dos canicas negras vecinas?
Problema 2
Si $a$ y $b$ son enteros positivos, demostrar que $11a+2b$ es múltiplo de $19$ si y sólo si lo es $18a+5b$.
Problema 3
Se dan dos circunferencias externamente tangentes con radios diferentes. Sus tangentes comunes forman un triángulo. Halla el área de este triángulo en función de los radios de las dos circunferencias.
Problema 4
¿De cuántas maneras se pueden seleccionar ocho enteros $a_1,a_2, ... ,a_8$, no necesariamente distintos, tales que $1 \le a_1 \le ... \le a_8 \le 8$?
Problema 5
Si $a$ y $b$ son enteros positivos coprimos y $n$ un entero, demostrar que el máximo común divisor de $a^2+b^2-nab$ y $a+b$ divide a $n+2$.
Problema 6
Considera dos puntos fijos $B,C$ en una circunferencia $w$. Encuentra el locus de los incentros de todos los triángulos $ABC$ cuando el punto $A$ se mueve sobre $w$.
Problema 7
Dos subconjuntos disjuntos del conjunto $\{1,2, ... ,m\}$ tienen la misma suma de elementos. Demostrar que cada uno de los subconjuntos $A,B$ tiene menos de $m\sqrt{2}$ elementos.
Problema 8
Calcula el volumen de un octaedro regular circunscrito a una esfera de radio $1$.