OMM 1987 ►

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Problema 1

Demuestra que si la suma de dos fracciones irreducibles es un número entero entonces las dos fracciones tienen el mismo denominador.

Problema 2

¿Cuántos divisores positivos tiene el número $20!$?

Consideremos dos rectas $\ell$ y $\ell ' $ y un punto fijo $P$ equidistante de estas rectas. Cuál es el lugar geométrico de las proyecciones $M$ de $P$ sobre $AB$, donde $A$ está en $\ell $, $B$ en $\ell ' $, y el ángulo $\angle APB$ es recto?

Problema 4

Calcular el producto de todos los enteros positivos menores que $100$ y que tengan exactamente tres divisores positivos. Demuestra que este producto es un cuadrado.

Problema 5

En un triángulo rectángulo $ABC$, M es un punto de la hipotenusa $BC$ y $P$ y $Q$ las proyecciones de $M$ sobre $AB$ y $AC$ respectivamente. Demostrar que para ningún punto $M$ los triángulos $BPM, MQC$ y el rectángulo $AQMP$ tienen la misma área.

Problema 6

Demostrar que para todo entero positivo n el número $(n^3 -n)(5^{8n+4} +3^{4n+2})$ es un múltiplo de $3804$.

Problema 7

Demuestre que la fracción $ \frac{n^2+n-1}{n^2+2n}$ es irreducible para todo entero positivo $n$.

Problema 8

Tres rectas $l,m,n$ en el espacio pasan por el punto $S$. Un plano perpendicular a $m$ interseca $l,m,n$ en $A,B,C$ respectivamente. Supongamos que $\angle ASB = \angle BSC = 45^o$ y $\angle ABC = 90^o$. Calcula $\angle ASC$. Además, si un plano perpendicular a $l$ corta $l,m,n$ en $P,Q,R$ respectivamente y $SP = 1$, hallar los lados del triángulo $PQR$.