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Octavio escribe un entero $n \geq 1$ en una pizarra y luego inicia un proceso en el que en cada paso borra el número entero $k$ escrito en la pizarra y lo reemplaza por uno de los siguientes números, siempre que el resultado sea entero: \[3 k-1, \quad 2 k+1, \quad \frac{k}{2}.\] Demostrar que para todo entero $n \geq 1$, Octavio puede llegar a escribir en la pizarra el número $3^{2023}$ luego de una cantidad finita de pasos.