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Una coloración del conjunto de los enteros mayores o iguales que 1, debe hacerse con la siguiente regla: cada número se colorea de azul o rojo, de manera que la suma de cualesquiera dos números (no necesariamente distintos) del mismo color, sea azul. Determinar todas las coloraciones posibles del conjunto de los enteros mayores o iguales a 1, que sigan esta regla.

Octavio escribe un entero $n \geq 1$ en una pizarra y luego inicia un proceso en el que en cada paso borra el número entero $k$ escrito en la pizarra y lo reemplaza por uno de los siguientes números, siempre que el resultado sea entero: \[3 k-1, \quad 2 k+1, \quad \frac{k}{2}.\] Demostrar que para todo entero $n \geq 1$, Octavio puede llegar a escribir en la pizarra el número $3^{2023}$ luego de una cantidad finita de pasos.

Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos tales que $a b+b c+c a=1$. Demostrar que \[ \frac{a^{3}}{a^{2}+3 b^{2}+3 a b+2 b c}+\frac{b^{3}}{b^{2}+3 c^{2}+3 b c+2 c a}+\frac{c^{3}}{c^{2}+3 a^{2}+3 c a+2 a b}>\frac{1}{6\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}} .\]

Un número de cuatro cifras $n=\overline{a b c d}$, donde $a, b, c$ y $d$ son dígitos, con $a \neq 0$, se denomina guanaco si el producto $\overline{a b} \times \overline{c d}$ es un divisor positivo de $n$. Encontrar todos los números guanacos que existen.

Sean $A B C$ un triángulo acutángulo con $A B\lt A C$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $A, B$ y $C$. Sean $D$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$ y $\ell$ la recta tangente en $D$ a $\Gamma$. Sean $P, Q$ y $R$ las intersecciones de $B C$ con $\ell$, de $A P$ con $\Gamma$ tal que $Q \neq A$ y de $Q D$ con la altura del triángulo $A B C$ por $A$, respectivamente. Se definen el punto $S$ como la intersección de $A B$ con la recta $\ell$ y el punto $T$ como la intersección de $A C$ con la recta $\ell$. Probar que $S$ y $T$ pertenecen a la circunferencia que pasa por $A, Q$ y $R$.

En un estanque se encuentran $n \geq 3$ piedras dispuestas en una circunferencia. Una princesa quiere etiquetar las piedras con los números $1,2, \ldots, n$ en algún orden y después colocar algunos sapos sobre las piedras. Una vez que todos los sapos estén ubicados, empiezan a saltar en el sentido de las manecillas del reloj, de acuerdo a la siguiente regla: cuando un sapo llega a la piedra etiquetada con el número $k$, espera $k$ minutos y luego salta a la piedra adyacente. Si en ningún momento dos sapos pueden ocupar la misma piedra, ¿cuál es la mayor cantidad de sapos para los cuales la princesa puede etiquetar las piedras, antes de colocar los sapos? Para este máximo, mostrar cómo la princesa puede etiquetar las piedras y cómo colocar los sapos.
Nota: Una piedra se considera ocupada por dos sapos al mismo tiempo solo si existen dos sapos que estén simultáneamente en esta piedra por al menos un minuto.