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Se tiene un montón con 2022 piedras. Ana y Beto juegan por turnos al siguiente juego, comenzando por Ana: en cada turno, si hay $n$ piedras en el montón, se pueden retirar S(n) piedras o bien $n-S(n)$ piedras, donde $S(n)$ denota la suma de los dígitos del número $n$. La persona que retire la última piedra gana. Determine cuál de las dos personas tiene una estrategia ganadora y describa dicha estrategia.

Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabián se encuentran en un círculo, ubicados en ese orden. Cada uno de Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabián tiene un papel, en los cuales están escritos inicialmente los números reales $a, b, c, d, e, f$, respectivamente. Al final de cada minuto, todas las personas reemplazan simultáneamente el número de su papel por la suma de tres números: los que había al principio del minuto en su papel y en los papeles de sus dos vecinos, el de la derecha y el de la izquierda. Al final del minuto 2022 se han hecho 2022 reemplazos y cada persona tiene escrito en su papel su número inicial. Determine todos los posibles valores de $abc + def$. vamente, entonces al final del minuto $N$, Beto va a tener el número $x + y + z$.
Nota: Si al inicio del minuto $N$ Ana, Beto y Carlos tienen los números $x,y,z$, respectivamente, entonces al final del minuto $N$, Beto va a tener el número $x + y + z$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$. Sea $D$ la intersección de las rectas $AO$ y $BH$. Sea $P$ el punto del segmento $AB$ tal que $PH = PD$. Demuestre que los puntos $B$, $D$, $O$ y $P$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un rectángulo y sean $S_1, S_2, S_3, S_4$ cuatro circunferencias dentro del rectángulo tales que $S_k$ y $S_{k+1}$ son tangentes externamente entre sí y ambas son tangentes al lado $A_kA_{k+1}$ para $k = 1,2,3,4$, donde $A_5 = A_1$ y $S_5 = S_1$. Demuestre que $A_1A_2A_3A_4$ es un cuadrado.

Esteban el alquimista tiene 8088 piezas de cobre, 6066 piezas de bronce, 4044 piezas de plata y 2022 piezas de oro. Él puede tomar dos piezas de metales distintos y usar un martillo mágico para convertirlas en dos piezas de metales distintos a los que tomó y distintos entre sí. Determine el mayor número de piezas de oro que puede obtener Esteban después de haber usado el martillo mágico un número finito de veces.
Nota: Si Esteban toma una pieza de cobre y una de bronce, entonces las convierte en una pieza de plata y una de oro.

Un entero positivo $n$ es inverosímil si existen $n$ enteros no necesariamente distintos tales que la suma y el producto de estos sean iguales a $n$. ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales a 2022 son inverosímiles?