◄ OMCC 2021 ►

Una terna ordenada $(p, q, r)$ de números primos se llama parcera si $p$ divide $q^2-4$, $q$ divide $r^2-4$ y $r$ divide $p^2-4$. Encuentra todos las ternas parceras.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $CD$ es paralelo a la recta tangente a $\Gamma$ en $A$. Sea $E$ la intersección de $CD$ con $\Gamma$ distinta de $C$, y $F$ la intersección de $BC$ con el circuncírculo de $\bigtriangleup ADC$ distinta de $C$. Por último, sea $G$ la intersección de la recta $AB$ con la bisectriz interna del $\angle DCF$.Demostrar que $E, G, F$ y $C$ se encuentran en la misma circunferencia.

En una mesa formada por $2021\times 2021$ cuadrados unitarios, algunos cuadrados están coloreados de negro de tal manera que si colocamos un ratón en el centro de cualquier cuadrado de la mesa, éste puede caminar en línea recta (hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha a lo largo de una columna o fila) y salir de la mesa sin pisar ningún cuadrado negro (aparte del inicial si es negro). ¿Cuál es el número máximo de casillas que pueden ser de color negro?

Hay $2021$ personas en una reunión. Se sabe que una persona de la reunión no tiene ningún amigo allí y que otra persona sólo tiene un amigo allí. Además, es cierto que, dadas cualesquiera $4$ personas, al menos $2$ de ellas son amigos. Demuestra que hay $2018$ personas en la reunión que son todas amigas entre sí. \textit{Nota.} Si $A$ es amigo de $B$ entonces $B$ es amigo de $A$.

Sea $n \geq 3$ un número entero y $a_1,a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que $m$ es el menor y $M$ el mayor de estos números. Se sabe que para cualesquiera enteros distintos $1 \leq i,j,k \leq n$, si $a_i \leq a_j \leq a_k$ entonces $a_ia_k \leq a_j^2$. Demostrar que \[ a_1a_2 \cdots a_n \geq m^2M^{n-2} \] y determinar cuando la igualdad se mantiene.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\lt AC$ y sea $M$ el punto medio de $AC$. Se elige un punto $P$ (distinto de $B$) en el segmento $BC$ de forma que $AB=AP$. Sea $D$ la intersección de $AC$ con el circuncírculo del $\bigtriangleup ABP$ distinto de $A$, y $E$ la intersección de $PM$ con el circuncírculo del $\triangle ABP$ distinto de $P$. Sea $K$ la intersección de las rectas $AP$ y $DE$. Sea $F$ un punto sobre $BC$ (distinto de $P$) tal que $KP=KF$.Demostrar que $C, D, E$ y $F$ están en la misma circunferencia.