◄ OMCC 2020 ►

Un número entero positivo de cuatro dígitos se llama virtual si tiene la forma $\overline{abab},$ donde $a$ y $b$ son dígitos y $a \neq 0$. Por ejemplo, 2020, 2121 y 2222 son números virtuales, mientras que 2002 y 0202 no lo son. Encontrar todos los números virtuales de la forma $n^2+1$, para algún número entero positivo $n$.

Supongamos que tienes monedas idénticas distribuidas en varios montones con una o más monedas en cada uno de ellos. Una acción consiste en tomar dos montones, que tienen un total par de monedas entre ellos, y redistribuir sus monedas en dos montones para que terminen con el mismo número de monedas. Una distribución es \textit{nivelable} si es posible, mediante 0 o más operaciones, acabar con todos los montones con el mismo número de monedas. Determinar todos los enteros positivos $n$ tales que, para todos los enteros positivos $k$, cualquier distribución de $nk$ monedas en $n$ montones es nivelable.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $a$, $b$ y $c$ son enteros tales que $a+b+c=0$, entonces \[ f(a)+f(b)+f(c)=a^2+b^2+c^2. \]

Considera un triángulo $ABC$ con $BC>AC$. La circunferencia con centro $C$ y radio $AC$ interseca al segmento $BC$ en $D$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $I$ y es tangente a la recta $CA$ en $A$. La recta $AB$ y $\Gamma$ se cruzan en un punto $F$ con $F \neq A$. Demostrar que $BF=BD$.

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales no negativos. Sea $k$ un número entero positivo y $x_1, x_2, \dots, x_k$ números reales positivos tales que $x_1x_2\cdots x_k=1$. Demuestre que \[ P(x_1)+P(x_2)+\cdots+P(x_k)\geq kP(1). \]

Un entero positivo $N$ es "interoceánico" si su factorización prima \[ N=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k} \] satisface \[ x_1+x_2+\dots +x_k=p_1+p_2+\cdots +p_k. \] Encuentra todos los números interoceánicos menores que 2020.