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Sea $N=\overline{abcd}$ un número entero positivo de cuatro cifras. Nombramos \textit{potencia plátano} al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k}$ que se puede intercalar entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal manera que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$. Determinar el valor de $p(2025)$.

Tenemos un polígono regular $P$ con 2019 vértices, y en cada vértice hay una moneda. Dos jugadores Azul y Rojo se turnan alternativamente, empezando por Azul, de la siguiente manera: primero, Azul elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de azul, luego Rojo elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de rojo, de manera que los triángulos formados en cada jugada no se cruzan internamente con los triángulos coloreados anteriores. Continúan jugando hasta que no sea posible elegir otro triángulo para colorear. Entonces, un jugador gana la moneda de un vértice si coloreó la mayor cantidad de triángulos incidentes en ese vértice (si las cantidades de triángulos coloreados con azul o rojo incidentes en el vértice son iguales, entonces nadie gana esa moneda y la moneda se borra). El jugador con la mayor cantidad de monedas gana la partida. Encuentra una estrategia ganadora para uno de los jugadores. \textit{Nota.} Dos triángulos pueden compartir vértices o lados.

Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circumcírculo. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$, $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, y $Q$ el punto de $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$. Sea $E$ el punto medio de $DQ$. Demostrar que las rectas perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$ respectivamente, se encuentran en $AD$.

Sea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $l$ la tangente a $\Gamma$ por $A$. Las alturas de $B$ y $C$ se prolongan y se encuentran con $l$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las rectas $DC$ y $EB$ vuelven a encontrarse con $\Gamma$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demostrar que el triángulo $APQ$ es isósceles.

Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos de tales que $a+b+c=1$. Demostrar que \[ a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab}\leq\frac{3\sqrt{2}}{4}.\]

Un \textit{triminó} es una ficha rectangular de $1\times 3$. ¿Es posible cubrir un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ utilizando $21$ triminós, de tal manera que quede exactamente una casilla de $1 \times 1$ sin cubrir? En caso de que la respuesta sea afirmativa, determine todas las posibles ubicaciones de dicha casilla unitaria en el tablero de ajedrez.