OMCC

Multiplicando para deshacernos del denominador, la condición del problema se vuelve $r^2-5q^2=2p^2-2$, o $2=2p^2+5q^2-r^2$. Observemos que los residuos cuadráticos mod $8$ son: \begin{align*} 0^2&\equiv0\pmod 8 1^2&\equiv1\pmod 8 2^2&\equiv4\pmod 8 3^2&\equiv1\pmod 8 4^2&\equiv0\pmod 8 5^2&\equiv1\pmod 8 6^2&\equiv4\pmod 8 7^2&\equiv1\pmod 8 \end{align*} Entonces, asumiendo que $p\neq 2$ y $q \neq 2$, \[2p^2+5q^2-r^2\equiv 2+5-r^2\equiv 7-r^2 \pmod 8\] Pero esto es equivalente a $2\pmod 8$, por la condición del problema. Entonces $r^2\equiv 5 \pmod 8$, que es imposible. Esto significa que alguno de $p$ o $q$ es $2$. Caso 1, $p=2$: Si $p=2$, tenemos que \[0=r^2-5q^2-6\equiv r^2-11\equiv r^2-3 \pmod 8,\] a menos que $q=2$. Pero es imposible que $r^2-3\equiv 0 \pmod 8$, entonces llegamos a una contradicción, y $q=2$. Caso 2, $q=2$: Si $q=2$, tenemos que \[r^2-20=2p^2-2\implies r^2-2p^2=18.\] Los residuos cuadráticos mod $3$ son $0$ o $1$, entonces si $p\neq 3$, $r^2-2\equiv 0 \pmod 3$, que es imposible. Por lo tanto, $p=3$. Ahora, $r^2-18=18\implies r=6$. Entonces la única solución del problema es $(p,q,r)=(3,2,6)$.