◄ OMCC 2018 ►

Hay 2018 cartas numeradas del 1 al 2018. Los números de las cartas están visibles en todo momento. Tito y Pepe juegan a un juego. Empezando por Tito, se van turnando para agarrar las cartas hasta que terminan. Entonces cada jugador suma los números de sus cartas y gana quien tenga una suma par. Determina qué jugador tiene una estrategia ganadora y descríbela.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$. Sea $T$ la reflexión de $C$ respecto a $O$ y $T'$ la reflexión de $T$ respecto a la recta $AB$. La recta $BT'$ interseca de nuevo a $\omega$ en $R$. La perpendicular a $CT$ que pasa por $O$ corta a la recta $AC$ en $L$. Sea $N$ la intersección de las rectas $TR$ y $AC$. Demostrar que $\overline{CN}=2\overline{AL}$.

Sean $x, y$ números reales tales que $x-y, x^2-y^2, x^3-y^3$ son todos números primos. Demostrar que $x-y=3$.

Determinar todas las tripletas $(p, q, r)$ de enteros positivos, donde $p, q$ son números primos, tales que $\frac{r^2-5q^2}{p^2-1}=2$.

Sea $n$ un número entero positivo, $1\lt n\lt 2018$. Para cada $i=1, 2, \ldots ,n$ definimos el polinomio $S_i(x)=x^2-2018x+l_i$, donde $l_1, l_2, \ldots, l_n$ son enteros positivos distintos. Si el polinomio $S_1(x)+S_2(x)+\cdots+S_n(x)$ tiene al menos una raíz entera, demostrar que al menos uno de los $l_i$ es mayor o igual que $2018$.

En La Habana se realiza un baile con $2018$ parejas. Para el baile, se dispone de una circunferencia donde inicialmente se marcan $2018$ puntos distintos, etiquetados con los números $0,1,\ldots,2017$. Las parejas son ubicadas sobre los puntos marcados, una en cada punto. Para $i\ge1$, se define $s_i$ como el residuo de dividir $i$ entre $2018$ y $r_i$ como el residuo de dividir $2i$ entre $2018$. El baile comienza en el minuto $0$. En el $i-$ésimo minuto después de haber inciado el baile, la pareja ubicada en el punto $s_i$ (si la hay) se mueve al punto $r_i$, la pareja que ocupaba el punto $r_i$ (si la hay) se retira, y el baile continúa con las parejas restantes. El baile termina después de $2018^2$ minutos. Determine cuantas parejas quedarán al terminar el baile.