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La figura siguiente muestra una red hexagonal formada por muchos triángulos equiláteros congruentes. Por turnos, Gabriel y Arnaldo juegan de la siguiente manera. En su turno, el jugador colorea un segmento, incluyendo los puntos extremos, siguiendo estas tres reglas: Los puntos finales deben coincidir con los vértices de los triángulos equiláteros marcados. El segmento debe estar formado por uno o varios de los lados de los triángulos. El segmento no puede contener ningún punto (puntos finales incluidos) de un segmento previamente coloreado. Gabriel juega primero, y el jugador que no puede hacer un movimiento legal pierde. Encuentra una estrategia ganadora y descríbela.

Llamamos a un par $(a,b)$ de enteros positivos, $a\lt391$, pupusa si \[\text{lcm}(a,b)\gt\text{lcm}(a,391) \] Encuentra el valor mínimo posible de $b$, entre todas las parejas pupusa.

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sea $l$ la recta que pasa por los puntos medios de $BC$ y $AC$. $E$ es la reflexión de $D$ sobre $l$. Demostrar que el circuncentro del $\triangle ABC$ está en la recta $AE$.

$ABC$ es un triángulo rectángulo, con $\angle ABC = 90^{\circ}$. $B'$ es la reflexión de $B$ sobre $AC$. $M$ es el punto medio de $AC$. Elegimos $D$ sobre $\overline{BM}$, tal que $BD = AC$. Demostrar que $B'C$ es la bisectriz de $\angle BM'D$. NOTA: Una condición importante que no se menciona en el problema original es $AB\lt BC$. En caso contrario, $\angle MB'D$ no está definido o en otras palabras, $B'C$ es la bisectriz externa.

Susana y Brenda juegan a escribir polinomios en la pizarra. Susana empieza y juegan por turnos. En el turno preparatorio (turno $0$), Susana elige un entero positivo $n_0$ y escribe el polinomio $P_0(x)=n_0$. En el turno $1$, Brenda elige un entero positivo $n_1$, distinto de $n_0$, y escribe el polinomio \[ P_1(x)=n_1x+P_0(x) \textup{ o } P_1(x)=n_1x-P_0(x). \] En general, en el turno $k$, el jugador respectivo elige un número entero $n_k$, diferente de $n_0, n_1, \ldots, n_{k-1}$, y escribe el polinomio \[P_k(x)=n_kx^k+P_{k-1}(x) \textup{ o } P_k(x)=n_kx^k-P_{k-1}(x).\] El primer jugador que escriba un polinomio con al menos una raíz entera gana. Encuentra y describe una estrategia ganadora.

La rana Tita se sienta en la recta numérica. Inicialmente está en el número entero $k>1$. Si está sentada en el número $n$, salta al número $f(n)+g(n)$, donde $f(n)$ y $g(n)$ son, respectivamente, los números primos positivos más grandes y más pequeños que dividen a $n$. Encuentre todos los valores de $k$ de manera que Tita pueda saltar a infinitos números enteros distintos.