Los únicos dígitos que son cuadrados perfectos son $0,1,4,9$. Como $n$ es múltiplo de $2$ y $5$, es múltiplo de $10$, entonces termina en $0$. Como $n$ es múltiplo de $3$, la suma de los dígitos debe ser múltiplo de $3$. Los dígitos $0,1,4,9$ son congruentes a $0,1,1,0$ módulo $3$, entonces deben sumar $0+0+0$ o $1+1+1$. Esto significa que los dígitos deben ser todos $0$ o $9$, o todos $1$ o $4$. Entonces los primeros $3$ dígitos de $n$ son: $$(9,0,0),(9,9,0),(9,9,9),(1,1,1),(4,1,1),(4,4,1),(4,4,4),$$ o algunas de sus permutaciones. Estos números son $$\begin{array}{rl}& 9000,9900,9090,\\ & 9990,1110,4110,\\ & 1410,1140,4410,\\ & 4140,1440,4440\end{array}$$ Revisando uno por uno, vemos que el único de estos números que es múltiplo de $7$ es \boxed{4410}.