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Problema 1
Encontrar todos los enteros positivos $n$ que tienen 4 dígitos, todos ellos cuadrados perfectos, y tales que $n$ es divisible por 2, 3, 5 y 7.
Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circunferencia y $M$ el punto medio de $BC$. Sea $N$ un punto del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contenga a $A$ tal que $\angle NAC= \angle BAM$. Sea $R$ el punto medio de $AM$, $S$ el punto medio de $AN$ y $T$ el pie de la altitud que pasa por $A$. Demostrar que $R$, $S$ y $T$ son colineales.
Problema 3
El polinomio $Q(x)=x^3-21x+35$ tiene tres raíces reales diferentes. Encontrar números reales $a$ y $b$ tales que el polinomio $x^2+ax+b$ permute cíclicamente las raíces de $Q$, es decir, si $r$, $s$ y $t$ son las raíces de $Q$ (en algún orden) entonces $P(r)=s$, $P(s)=t$ y $P(t)=r$.
Problema 4
El número $3$ está escrito en un tablero. Ana y Bernardo juegan por turnos, empezando por Ana, al siguiente juego. Si el número escrito en el tablero es $n$, el jugador en su turno debe sustituirlo por un número entero $m$ coprimo de $n$ y tal que $n\lt m\lt n^2$. El primer jugador que alcance un número mayor o igual que 2016 pierde. Determinar cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora y describirla.
Problema 5
Decimos que un número es irie si se puede escribir de la forma $1+\frac{1}{k}$ para algún entero positivo $k$. Demostrar que todo número entero $n \geq 2$ puede escribirse como el producto de $r$ números irie distintos para todo número entero $r \geq n-1$.
Problema 6
Sea $\triangle ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\Gamma$. Sean $M=BI\cap \Gamma$ y $N=CI\cap \Gamma$, la recta paralela a $MN$ por $I$ corta a $AB$, $AC$ en $P$ y $Q$. Demostrar que el circunradio de $\odot (BNP)$ y $\odot (CMQ)$ son iguales.