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Queremos escribir $n$ números reales distintos $(n\geq 3)$ en la circunferencia de un círculo de forma que cada número sea igual al producto de sus vecinos inmediatos a la izquierda y a la derecha. Determinar todos los valores de $n$ para los que esto es posible.

Una sucesión $(a_n)$ de números reales está definida por $a_0=1$, $a_1=2015$ y para todo $n\geq1$, tenemos: \[a_{n+1}=\frac{n-1}{n+1}a_n-\frac{n-2}{n^2+n}a_{n-1}. \] Calcule el valor de $$\frac{a_1}{a_2}-\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}-\frac{a_4}{a_5}+\ldots+\frac{a_{2013}}{a_{2014}}-\frac{a_{2014}}{a_{2015}}.$$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB \lt CD$, y sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $BC$.La circunferencia del triángulo $PCD$ corta a la recta $AB$ en los puntos $Q$ y $R.$ Sean $S$ y $T$ los puntos en los que las tangentes de $P$ a la circunferencia de $ABCD$ tocan dicha circunferencia. Muestra que $PQ=PR$. Muestra que $QRST$ es un cuadrilátero cíclico.

Anselmo y Bonifacio inician un juego en el que sustituyen alternativamente un número escrito en un tablero. En cada turno, un jugador puede sustituir el número escrito por el número de divisores del número escrito o por la diferencia entre el número escrito y el número de divisores que tiene. Anselmo es el primer jugador en jugar, y el que sea el primero en escribir el número $0$ es el ganador. Dado que el número inicial es $1036$, determina qué jugador tiene una estrategia ganadora y describe dicha estrategia. Nota: Por ejemplo, el número de divisores de $14$ es $4$, ya que sus divisores son $1$, $2$, $7$ y $14$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC=2AB$. Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $CAB$ con $BC$. Sea $F$ el punto de intersección de la recta paralela a $AB$ que pasa por $C$ con la recta perpendicular a $AD$ que pasa por $A$. Demostrar que $FD$ pasa por el punto medio de $AC$.

$39$ estudiantes participaron en un concurso de matemáticas. El examen constaba de $6$ problemas y cada problema valía $1$ punto por una solución correcta y $0$ puntos por una solución incorrecta. Para $3$ estudiantes cualesquiera, hay a lo más $1$ problema que no fue resuelto por ninguno de los tres. Sea $B$ la suma de todas las puntuaciones de los $39$ estudiantes. Hallar el menor valor posible de $B$.