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Problema 1

Un número entero positivo se llama tico si es el producto de tres números primos diferentes que suman 74. Comprueba que 2014 es tico. ¿Qué año será el próximo año tico? ¿Cuál será el último año tico de la historia?

Problema 2

Sea

A B C D

un trapecio con bases

A B

C D

, inscrito en una circunferencia de centro

O

. Sea

P

la intersección de las rectas

B C

A D

. Una circunferencia que pasa por

O

P

interseca los segmentos

B C

A D

en los puntos interiores

F

G

, respectivamente. Demostrar que

B F = D G

Problema 3

Sean

a

b

c

d

números reales tales que no hay dos iguales,

\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} = 4

a c = b d

. Hallar el máximo valor posible de

\frac{a}{c} + \frac{b}{d} + \frac{c}{a} + \frac{d}{b} .

Problema 4

Utilizando cuadrados de lado 1, se forma una figura en forma de escalera por etapas siguiendo el patrón del dibujo. Por ejemplo, la primera etapa utiliza 1 cuadrado, la segunda utiliza 5, etc. Determina la última etapa para la que la figura correspondiente utiliza menos de 2014 cuadrados.

Problema 5

Se eligen los puntos

A

B

C

D

sobre una recta en ese orden, con

A B

C D

mayores que

B C

. Se construyen los triángulos equiláteros

A P B

B C Q

C D R

de forma que

P

Q

R

estén en el mismo lado respecto a

A D

. Si

∠ P Q R = 120^{\circ}

, demuestre que

\frac{1}{A B} + \frac{1}{C D} = \frac{1}{B C} .

Problema 6

Un entero positivo

n

es divertido si para todos los divisores positivos

d

n

d + 2

es un número primo. Encuentra todos los números divertidos con el mayor número posible de divisores.

Proyecto MURO