◄ OMCC 2011 ►
Presiona el título de cualquier problema para ver su página individual.
• Regresar a OMCC• Regresar a la página de inicio
Problema 1
Considere un cubo con una mosca en cada uno de sus vértices. Cuando suena un silbato, cada mosca se desplaza a un vértice de la misma cara que el anterior pero diagonalmente opuesto a él. Después de que suene el silbato, ¿de cuántas maneras pueden cambiar de posición las moscas para que no haya ningún vértice con 2 o más moscas?
Problema 2
En un triángulo escaleno $ABC$, $D$ es el pie de la altitud que pasa por $A$, $E$ es la intersección de $AC$ con la bisectriz del $\angle ABC$ y $F$ es un punto de $AB$. Sea $O$ el circuncentro de $ABC$ y $X=AD\cap BE$, $Y=BE\cap CF$, $Z=CF \cap AD$. Si $XYZ$ es un triángulo equilátero, demostrar que uno de los triángulos $OXY$, $OYZ$, $OZX$ debe ser equilátero.
Problema 3
Un "deslizamiento" sobre un entero $n\geq 2$ es una operación que consiste en elegir un divisor primo $p$ de $n$ y sustituir $n$ por $\frac{n+p^2}{p}.$
Partiendo de un entero arbitrario $n\geq 5$, aplicamos sucesivamente la operación de deslizamiento sobre él. Demostrar que eventualmente se llega a $5$, sin importar los deslizamientos aplicados.
Problema 4
Encontrar todos los enteros positivos $p$, $q$, $r$ tales que $p$ y $q$ son números primos y $\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1}-\frac{1}{(p+1)(q+1)} = \frac{1}{r}.$
Problema 5
Si $x$, $y$, $z$ son números positivos que satisfacen
\[x+\frac{y}{z}=y+\frac{z}{x}=z+\frac{x}{y}=2. \]
Encuentra todos los valores posibles de $x+y+z$.
Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo agudo y $D$, $E$, $F$ los pies de las alturas que pasan por $A$, $B$, $C$ respectivamente. Llamemos $Y$ y $Z$ a los pies de las rectas perpendiculares desde $B$ y $C$ a $FD$ y $DE$, respectivamente. Sea $F_1$ la reflexión de $F$ respecto a $E$ y $E_1$ la reflexión de $E$ respecto a $F$. Si $3EF=FD+DE$, demostrar que $\angle BZF_1=\angle CYE_1$.