◄ OMCC 2010 ►

Denotemos por $S(n)$ la suma de los dígitos del entero positivo $n$. Encontrar todas las soluciones de la ecuación $n(S(n)-1)=2010.$

Sea $ABC$ un triángulo y $L$, $M$, $N$ los puntos medios de $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. La tangente a la circunferencia de $ABC$ en $A$ interseca a $LM$ y $LN$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demostrar que $CP$ es paralela a $BQ$.

Una ficha se coloca en una casilla de un tablero de $m\times n$, y se mueve según las siguientes reglas: En cada turno, la ficha puede moverse a una casilla que comparta un lado con la que está ocupada actualmente. La ficha no puede colocarse en una casilla ya ocupada. Dos movimientos consecutivos no pueden tener la misma dirección. El juego termina cuando la ficha no puede ser movida. Determine los valores de $m$ y $n$ para los que, colocando la ficha en alguna casilla, todas las casillas del tablero habrán sido ocupadas al final de la partida.

Encuentre todos los números enteros positivos $N$ tales que un tablero de $N\times N$ pueda ser embaldosado usando baldosas de tamaño $5\times 5$ o $1\times 3$. Nota: Las baldosas deben cubrir completamente el tablero, sin superposiciones.

Si $p$, $q$ y $r$ son números racionales no nulos tales que $\sqrt[3]{pq^2}+\sqrt[3]{qr^2}+\sqrt[3]{rp^2}$ es un número racional no nulo, demuestre que $$\frac{1}{\sqrt[3]{pq^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{qr^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{rp^2}}$$ también es un número racional.

Sean $\Gamma$ y $\Gamma_1$ dos circunferencias internamente tangentes en $A$, con centros $O$ y $O_1$ y radios $r$ y $r_1$, respectivamente ($r>r_1$). $B$ es un punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$, y $C$ es un punto en $\Gamma$ tal que $BC$ es tangente a $\Gamma_1$ en $P$. Sea $A'$ el punto medio de $BC$. Dado que $O_1A'$ es paralelo a $AP$, hallar la razón $r/r_1$.