◄ OMCC 2009 ►

Sea $ P$ el producto de todos los dígitos no nulos del entero positivo $ n$. Por ejemplo, $ P(4) = 4$, $ P(50) = 5$, $ P(123) = 6$, $ P(2009) = 18$. Encuentra el valor de la suma: $P(1) + P(2) + ... + P(2008) + P(2009)$.

Dos circunferencias $ \Gamma_1$ y $ \Gamma_2$ se cruzan en los puntos $ A$ y $ B$. Consideremos una circunferencia $ \Gamma$ contenida en $ \Gamma_1$ y $ \Gamma_2$, que es tangente a ambas en $ D$ y $ E$ respectivamente. Sea $ C$ uno de los puntos de intersección de la recta $ AB$ con $ \Gamma$, $ F$ la intersección de la recta $ EC$ con $ \Gamma_2$ y $ G$ la intersección de la recta $ DC$ con $ \Gamma_1$. Sean $ H$ e $ I$ los puntos de intersección de la recta $ ED$ con $ \Gamma_1$ y $ \Gamma_2$ respectivamente. Demostrar que $ F$, $ G$, $ H$ e $ I$ están en la misma circunferencia.

Hay 2009 casillas numeradas del 1 al 2009, algunas de las cuales contienen piedras. Dos jugadores, $ A$ y $ B$, juegan alternativamente, empezando por $ A$. Una jugada consiste en seleccionar una casilla no vacía $ i$, tomar una o varias piedras de esa casilla y colocarlas en la casilla $ i + 1$. Si $ i = 2009$, las piedras seleccionadas se eliminan. El jugador que elimina la última piedra gana. Si hay 2009 piedras en la caja 2 y las otras están vacías, determina qué jugador tiene una estrategia ganadora. Si hay exactamente una piedra en cada casilla, determina qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Queremos colocar números naturales alrededor de un círculo de forma que los valores absolutos de las diferencias de cada par de números vecinos son todos diferentes. ¿Es posible colocar los números del 1 al 2009 satisfaciendo esta propiedad? ¿Es posible quitar uno de los números del 1 al 2009 de forma que los restantes números del 2008 puedan colocarse satisfaciendo la propiedad?

Dado un triángulo agudo y escaleno $ ABC$, sea $ H$ su ortocentro, $ O$ su circuncentro, $ E$ y $ F$ los pies de las altitudes trazadas desde $ B$ y $ C$, respectivamente. La recta $ AO$ vuelve a cortar la circunferencia del triángulo en el punto $ G$ y los segmentos $ FE$ y $ BC$ en los puntos $ X$ e $ Y$ respectivamente. Sea $ Z$ el punto de intersección de la recta $ AH$ y la recta tangente a la circunferencia en $ G$. Demostrar que $ HX$ es paralela a $ YZ$.

Encuentre todos los números primos $ p$ y $ q$ tales que $ p^3 - q^5 = (p + q)^2$.