◄ OMCC 2008 ►

Encontrar el menor número entero positivo $ N$ tal que la suma de sus dígitos sea 100 y la suma de los dígitos de $ 2N$ sea 110.

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia centrada en $ O$ tal que $ AC$ es un diámetro. Se construyen los pararrelogramas $ DAOE$ y $ BCOF$. Demostrar que si $ E$ y $ F$ están en la circunferencia entonces $ ABCD$ es un rectángulo.

Hay bolsas de 2008 numeradas del 1 al 2008, con ranas de 2008 en cada una de ellas. Dos personas juegan por turnos. Una jugada consiste en seleccionar una bolsa y sacar de ella un número cualquiera de ranas (al menos una), dejando en ella $ x$ ranas ($ x\geq 0$). Después de cada jugada, de cada bolsa con un número superior al seleccionado y que tenga más de $ x$ ranas, se escapan algunas ranas hasta que haya $ x$ ranas en la bolsa. Pierde el jugador que saque la última rana de la bolsa número 1. Encuentra y explica una estrategia ganadora.

Cinco chicas tienen una pequeña tienda que abre de lunes a viernes. Como dos personas son siempre suficientes para atenderla, deciden hacer un plan de trabajo para la semana, especificando quién trabajará cada día, y cumpliendo las siguientes condiciones: Cada chica trabajará exactamente dos días a la semana, y las 5 parejas asignadas para la semana deben ser diferentes ¿De cuántas maneras pueden las chicas hacer el plan de trabajo?

Encuentre un polinomio $ P\left(x\right)$ con coeficientes reales tal que $$(x+10)P(2x) = (8x - 32)P(x + 6)$$ para todo real $x$ y $P(1) = 210$.

Sea $ ABC$ un triángulo agudo. Tomemos los puntos $ P$ y $ Q$ dentro de $ AB$ y $ AC$, respectivamente, tales que $ BPQC$ es cíclico. La circunferencia de $ ABQ$ vuelve a intersecar $ BC$ en $ S$ y la circunferencia de $ APC$ vuelve a intersecar $ BC$ en $ R$, $ PR$ y $ QS$ vuelven a intersecarse en $ L$. Demostrar que la intersección de $ AL$ y $ BC$ no depende de la selección de $ P$ y $ Q$.