◄ OMCC 2007 ►

La Olimpiada Centroamericana es una competición anual. La novena olimpiada se celebra en 2007. Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ divide el número del año en que se celebra la $n$-ésima Olimpiada.

En un triángulo $ABC$, la bisectriz del ángulo $A$ y las cevianas $BD$ y $CE$ coinciden en un punto $P$ del interior del triángulo. Demostrar que el cuadrilátero $ADPE$ tiene un círculo interior si y sólo si $AB=AC$.

Sea $S$ un conjunto finito de enteros. Supongamos que para cada dos elementos distintos de $S$, $p$ y $q$, existen enteros no necesariamente distintos $a \neq 0$, $b$, $c$ pertenecientes a $S$, tales que $p$ y $q$ son las raíces del polinomio $ax^{2}+bx+c$. Determinar el número máximo de elementos que puede tener $S$.

En una isla remota se habla un idioma en el que cada palabra puede escribirse utilizando sólo las letras $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$. Digamos que dos palabras son "sinónimas" si podemos transformar una en la otra según las siguientes reglas: Cambiar una letra por otras dos de la siguiente manera: \[a \rightarrow bc, b \rightarrow cd, c \rightarrow de, d \rightarrow ef, e \rightarrow fg, f \rightarrow ga, g \rightarrow ab.\] Si una letra se encuentra entre otras dos letras iguales, éstas se pueden eliminar. Por ejemplo, $dfd \rightarrow f$. Demuestra que todas las palabras de este lenguaje son sinónimas.

Dados dos enteros no negativos $m>n$, digamos que $m$ {\itshape termina en} $n$ si podemos obtener $n$ borrando algunos dígitos (de izquierda a derecha) en la representación decimal de $m$. Por ejemplo, 329 termina en 29, y también en 9. Determina cuántos números de tres cifras terminan en el producto de sus dígitos.

Consideremos una circunferencia $S$, y un punto $P$ fuera de ella. Las líneas tangentes desde $P$ se encuentran con $S$ en $A$ y $B$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $AB$. La mediatriz de $AM$ se encuentra con $S$ en un punto $C$ que está dentro del triángulo $ABP$. $AC$ corta a $PM$ en $G$, y $PM$ se encuentra con $S$ en un punto $D$ que está fuera del triángulo $ABP$. Si $BD$ es paralela a $AC$, demostrar que $G$ es el centroide del triángulo $ABP$.