◄ OMCC 2006 ►

Para $0 \leq d \leq 9$, definimos los números \[S_{d}=1+d+d^{2}+\cdots+d^{2006}\] Encontrar el último dígito del número \[S_{0}+S_{1}+\cdots+S_{9}.\]

Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos circunferencias congruentes centradas en $O$ y $O'$, respectivamente, y sea $A$ uno de sus dos puntos de intersección. $B$ es un punto de $\Gamma$, $C$ es el segundo punto de intersección de $AB$ y $\Gamma'$, y $D$ es un punto de $\Gamma'$ tal que $OBDO'$ es un paralelogramo. Demostrar que la longitud de $CD$ no depende de la posición de $B$.

Para todo número natural $n$ definimos \[f(n)=\left\lfloor n+\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor\] Demuestre que para todo número entero $k \geq 1$ la ecuación $$f(f(n))-f(n)=k$$ tiene exactamente $2k-1$ soluciones.

El producto de varios enteros positivos distintos es divisible por ${2006}^{2}$. Determina el valor mínimo que puede tomar la suma de dichos números.

El país {\itshape Olimpia} está formado por $n$ islas. La más poblada se llama {\itshape Panacenter}, y cada isla tiene un número diferente de habitantes. Queremos construir puentes entre estas islas, con los que podremos viajar en ambas direcciones, bajo las siguientes condiciones: Ningún par de islas está unido por más de un puente. Utilizando los puentes podemos llegar a todas las islas desde el Panacentro. Si queremos viajar desde Panacenter a cada una de las otras islas, de forma que utilicemos cada puente como máximo una vez, el número de habitantes de las islas que visitamos es estrictamente decreciente. Determina el número de formas en que podemos construir los puentes.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $I=AC\cap BD$, y $E$, $H$, $F$ y $G$ son puntos en $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ respectivamente, tales que $EF \cap GH= I$. Si $M=EG \cap AC$, $N=HF \cap AC$, demuestre que \[\frac{AM}{IM}\cdot \frac{IN}{CN}=\frac{IA}{IC}.\]