◄ OMCC 2005 ►

Entre los enteros positivos que se pueden expresar como la suma de 2005 enteros consecutivos, ¿cuál ocupa la posición 2005 cuando se ordenan?

Demuestre que la ecuación $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+3b^{2}-c^{2}-a^{2}=2005$ no tiene soluciones enteras.

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $P$, $Q$ y $R$ los puntos de contacto del incírculo con los lados $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente. Sean $L$, $M$ y $N$ los pies de las alturas del triángulo $PQR$ desde $R$, $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que que las rectas $AN$, $BL$ y $CM$ se encuentran en un punto. Muestra que este punto pertenece a la recta que une el ortocentro y el circuncentro del triángulo $PQR$.

Dos jugadores, Rojo y Azul, juegan por turnos en un tablero de $10\times 10$. El azul va primero. En su turno, un jugador elige una fila o columna (no elegida aún por ningún jugador) y colorea todas sus casillas con su propio color. Si alguna de estas casillas ya estaba coloreada, el nuevo color sustituye al anterior. El juego termina después de 20 turnos, cuando todas las filas y columnas han sido elegidas. El rojo gana si el número de casillas rojas en el tablero supera al menos en 10 el número de casillas azules; en caso contrario, gana el azul. Determina qué jugador tiene una estrategia ganadora y describe esta estrategia.

Sea $ABC$ un triángulo, $H$ el ortocentro y $M$ el punto medio de $AC$. Sea $\ell$ la paralela que pasa por $M$ a la bisectriz del $\angle AHC$. Demostrar que $\ell$ divide el triángulo en dos partes de igual perímetro.

Sea $n$ un número entero positivo y $p$ un primo fijo. Tenemos una baraja de $n$ cartas, numeradas con $1,\ 2,\ldots,\ n$ y $p$ cajas para poner las cartas en ellas. Determinar todos los posibles enteros $n$ para los que es posible distribuir las cartas en las cajas de forma que la suma de los números de las cartas en cada caja sea la misma.