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En una pizarra, se escriben los números de $1$ a $9$. Los jugadores $A$ y $B$ se turnan, y $A$ es el primero. Cada jugador, por turno, elige uno de los números de la pizarra y lo retira, junto con todos los múltiplos (si los hay). El jugador que elimina el último número pierde. Determina si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora.

Definimos la secuencia $(a_n)$ como sigue: $a_0=a_1=1$ y para $k\ge 2$, $a_k=a_{k-1}+a_{k-2}+1$. Determinar cuántos enteros entre $1$ y $2004$ inclusive se pueden expresar como $a_m+a_n$ con $m$ y $n$ enteros positivos y $m\neq n$.

$ABC$ es un triángulo, y $E$ y $F$ son puntos de los segmentos $BC$ y $CA$ respectivamente, tales que $\frac{CE}{CB}+\frac{CF}{CA}=1$ y $\angle CEF=\angle CAB$. Supongamos que $M$ es el punto medio de $EF$ y $G$ es el punto de intersección entre $CM$ y $AB$. Demostrar que el triángulo $FEG$ es semejante al triángulo $ABC$.

En un tablero de $10\times 10$, la mitad de las casillas son de color blanco y la otra mitad de color negro. Un lado común a dos casillas del tablero es llamado "borde" si las dos casillas tienen colores diferentes. Determina el número mínimo y máximo posible de bordes que puede haber en el tablero.

Sea $ABCD$ un trapecio tal que $AB\parallel CD$ y $AB+CD=AD$. Sea $P$ el punto sobre $AD$ tal que $AP=AB$ y $PD=CD$. Muestra que $\angle BPC=90^{\circ}$. $Q$ es el punto medio de $BC$ y $R$ es el punto de intersección entre la recta $AD$ y la circunferencia que pasa por los puntos $B,A$ y $Q$. Muestra que los puntos $B,P,R$ y $C$ son concíclicos.

Con perlas de diferentes colores formando collares, se dice que un collar es {\itshape primo} si no se puede descomponer en hilos de perlas de la misma longitud, e iguales entre sí. Sean $n$ y $q$ enteros positivos. Demostrar que el número de collares primos con $n$ perlas, cada una de las cuales tiene uno de los $q^n$ colores posibles, es igual a $n$ veces el número de collares primos con $n^2$ perlas, cada una de las cuales tiene uno de los $q$ colores posibles. Nota: dos collares se consideran iguales si tienen el mismo número de perlas y se puede conseguir el mismo color en ambos collares, girando uno de ellos para que coincida con el otro.